Statistik II für Statistiker, Mathematiker und Informatiker (SS ... - LMU

10. Testen: Einführung und Konzepte 10.1 Gauß-Test, Student-Test und Binomialtest
10.1 Gauß-Test, Student-Test und Binomialtest
Gauß- und Student-Test: bekannteste Tests zum Prüfen von Hypothesen über
µ = E(X)
Beispiel: Qualitätssicherung
10. Testen: Einführung und Konzepte 10.1 Gauß-Test, Student-Test und Binomialtest
Allgemeine Form der Hypothesen über µ = E(X):
a) H 0 : µ = µ 0 , H 1 : µ ≠ µ 0 zweiseitige Alternative H 1
b) H 0 : µ = µ 0 , H 1 : µ < µ 0 einseitige Alternative H 1
c) H 0 : µ = µ 0 , H 1 : µ > µ 0 einseitige Alternative H 1
Bemerkungen:
• Verschiedene Tests unterscheiden sich durch Annahmen über X.
• Binomialtest: Testen von analogen Hypothesen über π = P(X = 1) bei
Bernoulli-Variable
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10. Testen: Einführung und Konzepte 10.1 Gauß-Test, Student-Test und Binomialtest
10. Testen: Einführung und Konzepte 10.1 Gauß-Test, Student-Test und Binomialtest
10.1.1 (Exakter) Gauß-Test
• Annahmen: X ∼ N(µ,σ 2 ) mit bekannter Varianz σ 2 , Stichprobenvariablen
X 1 ,...,X n i.i.d. wie X.
• Hypothesen über µ = E(X): a), b), c) wie oben
• Idee für Test: Falls H 0 richtig ist: E(X) = µ 0 . Bilde arithmetisches Mittel ¯x
zu den Stichprobenwerten x 1 , ...,x n . Lehne H 0 ab, falls Abweichung zwischen
µ 0 und ¯x zu groß.
a)
• Frage: wie groß sind die kritischen Werte zu wählen?
• Diskussion für Hypothesenpaar c) H 0 : µ = µ 0 , H 1 : µ > µ 0
Übergang von ¯X zu standardisierter Teststatistik
Z = ¯X − µ 0 √ n.
σ
Unter H 0 gilt: ¯X ∼ N(µ 0 , σ2
n ) ⇒ Z ∼ N(0,1)
b)
c)
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