Statistik II für Statistiker, Mathematiker und Informatiker (SS ... - LMU

7. Mehr über Zufallsvariablen und Verteilungen 7.1 Gesetz der großen Zahlen und Grenzwertsätze
7. Mehr über Zufallsvariablen und Verteilungen 7.1 Gesetz der großen Zahlen und Grenzwertsätze
Indikatorvariablen X 1 ,...,X n unabhängig und identisch wie X ∼ B(1,π)
verteilt.
f n (A) = f n (X = 1) = 1 n (X 1 + ... + X n ) relative Häufigkeit
“Gesetz großer Zahlen”: f n (A) → P(A)
relative H.
1.0 •
0.8
0.6
0.4
0.2
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•
•• •
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
• •
•
0.0
n
0 20 40 60 80 100
Relative Häufigkeit f n , durch Punkte markiert, nach n unabhängigen
Wiederholungen eines Bernoulli-Versuchs mit π = 0.4
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7. Mehr über Zufallsvariablen und Verteilungen 7.1 Gesetz der großen Zahlen und Grenzwertsätze
Allgemein: X beliebige diskrete oder stetige Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion
F(x),E(X) = µ,V ar(X) = σ 2 .
Zu X gehörender Zufallsvorgang wird n-mal unabhängig wiederholt.
Zufallsvariablen X i , i = 1, ...,n, geben an, welchen Wert X im i-ten Versuch
annehmen wird.
⇒ X 1 , ...,X n unabhängig und identisch verteilt wie X.
Ergebnisse x 1 ,...,x n nach Durchführung sind Realisierungen der Zufallsvariablen
X 1 , ...,X n .
7. Mehr über Zufallsvariablen und Verteilungen 7.1 Gesetz der großen Zahlen und Grenzwertsätze
7.1.1 Das Gesetz der großen Zahlen und der Hauptsatz der Statistik
Voraussetzung: X 1 , ...,X n i.i.d. wie X ∼ F(x) mit E(X) = µ,V ar(X) = σ 2
Zufallsvariable Arithmetisches Mittel ¯X n = 1 n (X 1 + ... + X n )
mit Realisierung ¯x n = 1 n (x 1 + . .. + x n )
Es gilt: E( ¯X n ) = µ, V ar( ¯X n ) = σ2
n
Beweis:
Kurz: X 1 ,...,X n i.i.d. (independent and identically distributed) wie X ∼ F(x)
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