Statistik II für Statistiker, Mathematiker und Informatiker (SS ... - LMU

9. Schätzen 9.2 Schätzer für Parameter und ihre Eigenschaften
9. Schätzen 9.2 Schätzer für Parameter und ihre Eigenschaften
Definition: Erwartungstreue und Verzerrung
Interpretation:
• T = g(X 1 , ...,X n ) heißt erwartungstreu (unverzerrt) für θ:⇔
E(T) = θ
für alle θ ∈ Θ
• T heißt verzerrt:⇔
E(T) ≠ θ
E(T) − θ heißt Verzerrung (Bias).
• T = g(X 1 , ...,X n ) heißt asymptotisch erwartungstreu:⇔
lim E(T) = θ
n→∞
Statistik II für Statistiker, Mathematiker und Informatiker im SS 2007 116
Statistik II für Statistiker, Mathematiker und Informatiker im SS 2007 117
9. Schätzen 9.2 Schätzer für Parameter und ihre Eigenschaften
9. Schätzen 9.2 Schätzer für Parameter und ihre Eigenschaften
Beispiele:
• E( ¯X) = µ, d.h. ¯X für µ unverzerrt
• H n
für π unverzerrt
• E(˜S 2 ) = E( 1 n
⇒ ˜S 2 verzerrt
∑i (X i − ¯X) 2 ) = n−1
n σ2
Bias(˜S 2 ) = E(˜S 2 ) − σ 2 = n−1
n σ2 − σ 2 = − σ2
n
˜S 2 asymptotisch ewartungstreu, da Verzerrung − σ2
n → 0 für n → ∞
Beweise zu Erwartungstreue/Bias von Schätzern für σ 2 = V ar(X)
a) µ = E(X) sei bekannt.
[ ]
n∑
1
⇒ E (X i − µ) 2 ↓
n
i=1
Linearität von E
= 1 n
i=1
b) µ unbekannt; durch ¯X geschätzt
⇒ ˜S
n∑
2 = 1 n
(X i − ¯X) 2 , aber E[˜S 2 ] = n−1
i=1
⇒ ˜S 2 verzerrt!
n∑
E [ (X i − µ) 2] = 1
} {{ } n · nσ2 = σ 2
V ar(X i )=σ 2
n σ2
• E(S 2 ) = σ 2 ,
S 2 unverzerrt
Statistik II für Statistiker, Mathematiker und Informatiker im SS 2007 118
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