Statistik II für Statistiker, Mathematiker und Informatiker (SS ... - LMU

8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen 8.4 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen 8.5 Kovarianz und Korrelation
8.5 Kovarianz und Korrelation
E(X) = µ X , E(Y ) = µ Y ; V ar(X) = σX 2 ,V ar(Y ) = σ2 Y
X und Y definiert, z.B.
wie bisher separat für
Verallgemeinerung für n > 2 Zufallsvariablen:
Die Zufallsvariablen X 1 , ...,X n heißen unabhängig, wenn für alle x 1 ,...,x n gilt
P(X 1 ≤ x 1 ,...,X n ≤ x n ) = P(X 1 ≤ x n ) · . .. · P(X n ≤ x n ).
Äquivalent dazu ist die Produktbedingung
f(x 1 ,...,x n ) = f X1 (x 1 ) · . .. · f Xn (x n ),
wobei f(x 1 ,...,x n ) die gemeinsame Dichte von X 1 , ...,X n und f Xi (x i ) die
Dichte der Zufallsvariable X i bezeichnen (i = 1,...,n).
µ X = ∑ x i p i·, σ 2 X = ∑ (x i − µ X ) 2 p i·
= ∑ x i f X (x i ), = ∑ (x i − µ X ) 2 f X (x i )
∫
∫
bzw. µ X = xf X (x) dx, σX 2 = (x − µ X ) 2 f X (x) dx
• Kovarianz und Korrelation wichtigste Maßzahlen für Zusammenhang zwischen
X und Y .
• Definition in Analogie zu empirischer Kovarianz und empirischer Korrelation
aus Kapitel 3.
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8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen 8.5 Kovarianz und Korrelation
8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen 8.5 Kovarianz und Korrelation
Definition: Kovarianz Cov(X, Y ) zwischen X und Y
• X,Y diskret:
Cov(X, Y ) = ∑ i
∑
j
(x i − µ X )(y j − µ Y ) f(x i ,y j )
} {{ }
p ij
Bemerkung:
Für diskrete Zufallsvariablen völlige Analogie zu empirischer Kovarianz:
µ X = ¯x, µ Y = ȳ, f ij = p ij
Auch Interpretation analog.
• X,Y stetig: ∑ −→ ∫
∫ ∫
Cov(X, Y ) =
(x − µ X )(y − µ Y )f(x, y) dy dx
Für stetige Zufallsvariablen werden entsprechende Beiträge
(x − µ X )(y − µ Y )f(x, y) aufintegriert statt aufsummiert.
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