FORMELSAMMLUNG STATISTIK B

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Formelsammlung zur Statistik B Seite 12 Normalverteilung (Gauß-Verteilung), X ∼ N(µ, σ 2 ) ✬ • Dichte- und Verteilungsfunktion (für x ∈ R) f N (x) = √ 1 ) (x − µ)2 exp (− 2πσ 2σ 2 F N (x) = 1 √ 2πσ ∫x −∞ ) (t − µ)2 exp (− dt 2σ 2 ✩ • Erwartungswert und Varianz E(X) = µ Var(X) = σ 2 • Lineare Transformation: (a, b beliebige Zahlen) X ∼ N(µ, σ 2 ) und Y = a · X + b ⇒ Y ∼ N(a · µ + b, a 2 · σ 2 ) • Linearkombination: X i ∼ N(µ i , σi 2 ) und unabhängig, a 1 , . . . , a n beliebige Zahlen ⇒ Y = a 1 · X 1 + · · · + a n · X n ∼ N(a 1 · µ 1 + · · · + a n · µ n , a 2 1 · σ1 2 + · · · + a 2 n · σn) 2 • Rückführung auf die Standardnormalverteilung – Standardisierung X ∼ N(µ, σ 2 ) ⇒ Z = X − µ σ ∼ N(0, 1) ✫ – Verteilungsfunktion X ∼ N(µ, σ 2 ) ⇒ ( ) x − µ P [X ≤ x] = F N (x) = Φ σ – Quantile (Für 0 < p < 1) x p p-Quantil von N(µ, σ 2 ) ⇒ x p = µ + σz p wobei z p p-Quantil von N(0, 1) ✪ Statistik B@LS-Kneip
Formelsammlung zur Statistik B Seite 13 χ 2 -Verteilung ✎ ☞ • Definition und Bezeichnung X 1 , . . . , X n unabhängige und N(0, 1)-verteilte Zufallsvariablen. Die Verteilung von χ 2 = X1 2 + · · · + Xn 2 heißt Chi-Quadrat-Verteilung“ mit n Freiheitsgraden, kurz ” χ 2 ∼ χ 2 (n). • Erwartungswert und Varianz E(χ 2 ) = n Var(χ 2 ) = 2n • Approximation durch die Normalverteilung ✍ für n > 30: χ 2 (n) ≈ N(n, 2n) für Quantile χ 2 p;n ≈ 1 2 (z p + √ 2n − 1) 2 ✌ t-Verteilung, Student-Verteilung ✎ • Definition und Bezeichnung X ∼ N(0, 1) und Y ∼ χ 2 (n) unabhängig. Die Verteilung von T = Verteilung“ mit n Freiheitsgraden, kurz T ∼ t(n). √ X heißt t- Y/n ” ☞ • Erwartungswert und Varianz E(T ) = 0 Var(T ) = n n − 2 (n > 2) • Approximation durch die Normalverteilung ✍ für n > 100: t(n) ≈ N(0, 1) für Quantile t p;n ≈ z p ✌ Fisher-Verteilung, F -Verteilung ✎ • Definition und Bezeichnung Seien X ∼ χ 2 (m) und Y ∼ χ 2 (n) unabhängig. Dann heißt die Verteilung von ☞ F = X/m Y/n Fisher- oder F -Verteilung mit den Freiheitsgraden m und n, kurz F ∼ F (m, n). ✍ • Erwartungswert E(F ) = n n − 2 (n > 2) ✌ Statistik B@LS-Kneip
Seite 1 und 2: Somersemester 2012 FORMELSAMMLUNG S
Seite 3 und 4: Formelsammlung zur Statistik B Seit
Seite 11: Formelsammlung zur Statistik B Seit

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