FORMELSAMMLUNG STATISTIK B

Formelsammlung zur Statistik B Seite 15
4 Mehrdimensionale Zufallsvariablen
Zweidimensionale diskrete Zufallsvariablen
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(X, Y ) sei eine bivariate diskrete Zufallsvariable mit k bzw. m Ausprägungen
• Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion (gemeinsame Verteilung)
✩
{ P [X = x, Y = y] für (x, y) = (x1 , y
f(x, y) =
1 ), . . .
0 sonst
• Gemeinsame Verteilungsfunktion
F (x, y) = P [X ≤ x, Y ≤ y] = ∑ ∑
f(x i , y j )
x i ≤x y j ≤y
• Randverteilung von X
f X (x) = P [X = x] =
m∑
f(x, y j )
j=1
• Randverteilung von Y
f Y (y) = P [Y = y] =
k∑
f(x i , y)
i=1
• Bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion (bedingte Verteilung)
– Bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion von X gegeben Y = y
f X (x|y) = P [X = x|Y = y] =
f(x, y)
f Y (y)
(f X (x|y) = 0, falls f Y (y) = 0.)
– Bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion von Y gegeben X = x
f Y (y|x) = P [Y = y|X = x] =
f(x, y)
f X (x)
(f Y (y|x) = 0, falls f X (x) = 0.)
• Bedingter Erwartungswert von Y gegeben X = x
µ Y |X=x = E(Y |X = x) =
m∑
y j f Y (y j |x)
j=1
• Bedingter Erwartungswert von X gegeben Y = y
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Statistik B@LS-Kneip
µ X|Y =y = E(X|Y = y) =
k∑
x i f X (x i |y)
i=1
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