FORMELSAMMLUNG STATISTIK B

Formelsammlung zur Statistik B Seite 3
Wahrscheinlichkeiten und Axiome von Kolmogoroff
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• Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum (S, P(S), P )
– Grundraum S = {ω 1 , ω 2 , . . . ω N }.
– Ereignisse P(S) = Menge aller Teilmengen A ⊂ S
– Wahrscheinlichkeit P P (A) = Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung P erfüllt die Axiome von Kolmogoroff:
(A1) (Nichtnegativität) P (A) ≥ 0
(A2) (Normiertheit) P (S) = 1
(A3) (Additivität) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) für A ∩ B = ∅
• Für nicht endliche Wahrscheinlichkeitsräume wird das Axiom (A3) ersetzt
durch das Axiom
(A3’) (σ−Additivität)
∞∪
∞∑
P ( A k ) = P (A k ) für A i ∩ A j = ∅, i ≠ j
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k=1 k=1
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Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
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1. P (∅) = 0, P (S) = 1, 0 ≤ P (A) ≤ 1
2. A ⊆ B ⇒ P (A) ≤ P (B)
3. P (Ā) = 1 − P (A) mit Ā = S\A
4. Additionssatz: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
5. P (A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A n ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + · · · + P (A n ),
falls A 1 , A 2 , . . . , A n paarweise disjunkt, d.h. A i ∩ A j = ∅
6. P (A 1 ∪ A 2 ∪ · · · A n ) ≤ P (A 1 ) + P (A 2 ) + · · · + P (A n )
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7. Wenn die Elementarwahrscheinlichkeiten p i = P ({ω i }), i = 1, 2, . . . bekannt sind,
dann gilt für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A:
P (A) = ∑
P ({ω i }) = ∑
i:ω i ∈A
i:ω i ∈A
p i
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Statistik B@LS-Kneip