FORMELSAMMLUNG STATISTIK B

Formelsammlung zur Statistik B Seite 21
6 Konfidenzintervalle
★
✥
• (1 − α)-Konfidenzintervall für θ
Stichprobenfunktionen G u = g u (X 1 , . . . , X n ) und G o = g o (X 1 , . . . , X n ), so dass (zu
vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit α)
P [G u ≤ G o ] = 1 und P [θ ∈ [G u , G o ]] = P [G u ≤ θ ≤ G o ] = 1 − α
⇒ [G u , G o ] = [g u (X 1 , . . . , X n ), g o (X 1 , . . . , X n )] ist ein (1 − α)-Konfidenzintervall für θ.
• Konfidenzniveau (Überdeckungs- , Vertrauenswahrscheinlichkeit): 1 − α
• Realisiertes (1 − α)-Konfidenzintervall
Beobachtete Werte x 1 , . . . , x 2 ⇒ [g u , g o ] = [g u (x 1 , . . . , x n ), g o (x 1 , . . . , x n )]
• Symmetrisches (1 − α)–Konfidenzintervall
erfüllt zusätzlich: P [θ < G u ] = P [θ > G o ] = α 2
• Einseitiges (1 − α)-Konfidenzintervall (mit unterer Schranke)
[G u , ∞[ mit P [G u ≤ θ] = 1 − α
• Einseitiges (1 − α)-Konfidenzintervall (mit oberer Schranke)
✧
] − ∞, G o ] mit P [θ ≤ G o ] = 1 − α
✦
Konfidenzintervall für einen Erwartungswert, bekannte Varianz
✓
• Annahmen:
✏
– X 1 , . . . , X n unabhängig und identisch verteilt
– X i ∼ N(µ, σ 2 )
– Bekannte Varianz σ 2
• (1 − α)-Konfidenzintervall für µ und bekannter Varianz σ 2 :
[
¯X − z 1−α/2
σ √n , ¯X + z 1−α/2
σ √n
]
✒
• Anmerkung:
Falls die Annahme der Normalverteilung zutrifft, handelt es sich um ein exaktes
(1 − α)-Konfidenzintervall andernfalls (d.h. für nicht normalverteilte Zufallsvariablen
aber großem Stichprobenumfang) um ein approximatives.
✑
Statistik B@LS-Kneip