FORMELSAMMLUNG STATISTIK B

Formelsammlung zur Statistik B Seite 19
5 Parameterschätzung
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• Statistisches Modell
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– X 1 , . . . , X n Zufallsstichprobe
– Verteilung von X hängt von einem Parameter θ ab
– Beobachtete (realisierte) Werte: x 1 , . . . , x n
• Schätzer für θ: ˆθn = g(X 1 , . . . , X n ) (Zufallsvariable)
• Schätzwert für θ: ˆθn = g(x 1 , . . . , x n ) (reelle Zahl)
• Bias (Verzerrung, systematischer Schätzfehler von ˆθ n ):
Bias(ˆθ n ) = E(ˆθ n ) − θ
• Varianz (zufallsbedingter Schätzfehler):
Var(ˆθ n ) = E(ˆθ n − E(ˆθ n )) 2
• Mittlerer quadratischer Schätzfehler (MSE, Mean Squared Error):
)
MSE(ˆθ n ) = E
((ˆθ n − θ) 2 = Var(ˆθ n ) + Bias(ˆθ n ) 2
• Schwache Konsistenz:
ˆθ n ist schwach konsistent für θ, falls
für jedes c > 0 :
P (|ˆθ n − θ| ≥ c) → 0 für n → ∞ gilt.
• MSE-Konsistenz:
ˆθ n ist MSE-konsistent für θ, falls
MSE(ˆθ n ) → 0 für n → ∞ gilt.
✫MSE-Konsistenz ⇒ schwache Konsistenz
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