FORMELSAMMLUNG STATISTIK B

Formelsammlung zur Statistik B Seite 17
Kovarianz und Korrelation
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Zufallsvariablen X und Y , mit µ X = E(X), µ Y = E(Y ), Var(X) = σX 2 , Var(Y ) = σ2 Y
• Kovarianz von X und Y
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σ XY = Cov(X, Y ) = E ((X − µ X )(Y − µ Y )) = E(X · Y ) − E(X) · E(Y )
• Erwartungswert E(X · Y )
⎧∑
∑
x i y j f(x i , y j )
⎪⎨ i j
E(X · Y ) = ∫ ∞ ∫ ∞
xy f(x, y)dx dy
⎪⎩
−∞ −∞
X, Y diskret
X, Y stetig
• Symmetrie
Cov(X, Y ) = Cov(Y, X)
• Lineare Transformationen
Für X ∗ = aX + b und Y ∗ = cY + d gilt Cov(X ∗ , Y ∗ ) = a · c · Cov(X, Y )
• Korrelation zwischen X und Y
ρ XY =
Cov(X, Y )
√
Var(X)
√
Var(Y )
=
• Varianz der Summe zweier Zufallsvariablen
σ XY
σ X · σ Y
Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2 · Cov(X, Y )
Falls X, Y unkorreliert ⇒ Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y )
• Gewichtete Summe von Zufallsvariablen
Zufallsvariablen X 1 , . . . , X k , Zahlen a 1 , . . . , a k ; für X = a 1 · X 1 + · · · + a k · X k gilt:
✫
E(X) = a 1 · E(X 1 ) + · · · + a k · E(X k )
k∑
Var(X) = a 2 i · X i + 2 ∑ a i · a j · Cov(X i , X j )
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