Modulhandbuch B.Sc. Mathematik - Fachbereich Mathematik ...

Anhang II: 

Modulhandbuch für den 

Studiengang Bachelor Mathematik 

gültig ab dem SS 2013 gemäß Fachbereichsratsbeschluss vom 8. Februar 2013

Auszug folgender Module: 

Analysis 4 

Analysis (englisch) 5 

Einführung in das wissenschaftlich-technische Programmieren 6 

Einführung in die mathematische Software 7 

Introduction to Mathematical Software 8 

Linear Algebra 9 

Lineare Algebra 10 

Algorithmic Discrete Mathematics 11 

Algorithmische diskrete Mathematik 12 

Arbeitstechniken in der Mathematik 13 

Complex Analysis 14 

Einführung in die Algebra 15 

Einführung in die Numerische Mathematik 16 

Einführung in die Stochastik 17 

English for Mathematicians 18 

Formale Grundlagen der Informatik 19 

Funktionentheorie 20 

Gewöhnliche Differentialgleichungen 21 

Integrationstheorie 22 

Integrationstheorie I (für Wirtschaftsmathematik) 23 

Integrationstheorie II (für Wirtschaftsmathematik) 24 

Lehren und Lernen von Mathematik 25 

Logic and Foundations 26 

Logik und Grundlagen 27 

Mathematik im Kontext 28 

Proseminar 29 

Proseminar (english) 30 

Algebra 31 

Asymptotics of evolution equations 32 

Bachelor Thesis 33 

Bachelor-Arbeit 34 

1

Complex Analysis 2 35 

Complexity Theory 36 

Differential Geometry 37 

Differentialgeometrie 38 

Differentialgeometrie 2 39 

Diskrete Mathematik 40 

Distributionen und Harmonische Analysis 41 

Distributionentheorie 42 

Einführung in die axiomatische Mengenlehre 43 

Einführung in die Finanzmathematik 44 

Einführung in die Mathematische Modellierung 45 

Einführung in die Optimierung 46 

Elementare Zahlentheorie 47 

Externes Praktikum 48 

Funktionalanalysis 49 

Funktionentheorie 2 50 

Game Theory 51 

Introduction to descriptive set theory 52 

Introduction to Mathematical Logic 53 

Introduction to Optimization 54 

Komplexitätstheorie 55 

Manifolds 56 

Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik 57 

Mathematisches Seminar (alg), Bachelor 58 

Mathematisches Seminar (ana), Bachelor 59 

Mathematisches Seminar (geo), Bachelor 60 

Mathematisches Seminar (log), Bachelor 61 

Mathematisches Seminar (num), Bachelor 62 

Mathematisches Seminar (opt), Bachelor 63 

Mathematisches Seminar (sto), Bachelor 64 

Mathematisches Vortragsprotokoll (doppelt) 65 

Mathematisches Vortragsprotokoll (einfach) 66 

2

Numerik Gewöhnlicher Differentialgleichungen 67 

Numerische Lineare Algebra 68 

Optimierung in Wirtschaft und Industrie 69 

Probability Theory 70 

Projekt in Mathematik (Bachelor) 71 

Reelle Analysis 72 

Seitenkanalangriffe gegen IT-Systeme 73 

Seitenkanalangriffe und Fault Attacken gegen IT-Systeme 74 

Seminar in Mathematics (alg), Bachelor 75 

Seminar in Mathematics (ana), Bachelor 76 

Seminar in Mathematics (geo), Bachelor 77 

Seminar in Mathematics (log), Bachelor 78 

Seminar in Mathematics (num), Bachelor 79 

Seminar in Mathematics (opt), Bachelor 80 

Seminar in Mathematics (sto), Bachelor 81 

Spieltheorie 82 

Summarizing a Mathematical Lecture (double) 83 

Summarizing a Mathematical Lecture (single) 84 

Synthetische Differentialgeometrie (englisch) 85 

Topological Groups 86 

Topologie 87 

Topologische Gruppen 88 

Wahrscheinlichkeitstheorie 89 

Zeitreihenanalyse 90 

3

Analysis 

Analysis 

Modulnummer: 04-10-0003/de (Bausteine: 04-00-0002-tt, 04-00-0002-vu, 04-00-0003-tt, 04-00-0003-vu) 

Forschungsgebiet: Analysis (ana) 

Administration: Alber 

Konzeption: Alber, Farwig, Kohlenbach, Hieber, Haller-Dintelmann, Kümmerer 

Studienjahr: 1 

Bemerkungen: 

Sprache: deutsch 

Dauer: 2 Semester 

Turnus: jedes Semester 

Lehrformen: Teil 1: 4V + 2Ü + Tut.; Teil 2: 4V + 2Ü + Tut. 

Leistungspunkte: 18 

Voraussetzungen: keine 

Leistungsnachweise: schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur Modulprüfung 

Lernergebnisse 

Teil 1: Nach dem Besuch des Moduls können die Studierenden 

- Funktionen einer reellen Variablen mit grundlegenden Konzepten (Grenzwert, Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Vollständigkeit 

usw.) analysieren 

- mathematische Schlussfolgerungen mit verschiedenen Beweismethoden herleiten 


- Funktionen, die von mehreren Variablen abhängen, mit grundlegenden Konzepten (Stetigkeit, totale und partielle Differenzierbarkeit, 

Integration) analysieren 

- geometrische Zusammenhänge in mehrdimensionalen Räumen mit topologischen Grundkonzepten untersuchen 

Inhalt 

Teil 1: Reelle und komplexe Zahlen, Vollständigkeit, Konvergenz von Folgen und Reihen, Topologie der reellen Zahlen, Kompaktheit, 

Funktionsbegriff, Stetige Funktionen, Elementare Funktionen, Differenzierbare Funktionen, Mittelwertsatz, Satz von Taylor, 

Integralrechnung, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Integrationstechniken 

Teil 2: Konvergenz von Funktionenfolgen, Potenzreihen, Topologie metrischer Räume, Normen auf dem n , Differentialrechnung 

mehrerer Variablen, partielle Ableitungen, Ableitungsregeln, Gradient, Höhere Ableitungen und Satz von Taylor in mehreren 

Variablen, Lokale Extrema, Lokale Umkehrbarkeit und implizite Funktionen, Mehrdimensionale Integration: Rechentechniken, 

Kurven im n , Integralsätze von Gauß und Stokes 

Contents 

Part 1: Real and complex numbers, completeness, convergence of sequences and series, topology of the real numbers, compactness, 

notion of a function, continuity, elementary functions, differentiation, Mean Value Theorem, Taylor’s Theorem, integral, 

Fundamental Theorem of Calculus, techniques of integration. 

Part 2: Convergence of sequences of functions, power series, topology of metric spaces, norms on n , differentiation of functions 

of several variables, partial derivatives, rules of differentation, gradient, higher derivatives and Taylor‘s theorem in several variables, 

local extrema, inverse and implicit function theorems, integration on n , curves in n , integral theorems of Gauß and Stokes 

Literatur 

O. Forster: Analysis I, II. Vieweg 

H. Heuser: Lehrbuch der Analysis 1, 2, Teubner 

K. Königsberger: Analysis 1, 2, Springer 

Charles R. MacCluer, Honors Calculus, Princeton Univ. Press 

W. Rudin: Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill 

4

Analysis (englisch) 

Analysis (english) 

Modulnummer: 04-10-0003/en (Bausteine: 04-00-0011-tt, 04-00-0011-vu, 04-00-0040-tt, 04-00-0040-vu) 


Administration: Alber 

Konzeption: Alber, Farwig, Kohlenbach, Hieber, Haller-Dintelmann, Kümmerer 


Bemerkungen: 

Sprache: englisch 


Turnus: unregelmäßig 







- Funktionen einer reellen Variablen mit grundlegenden Konzepten (Grenzwert, Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Vollständigkeit 

usw.) analysieren 

- mathematische Schlussfolgerungen mit verschiedenen Beweismethoden herleiten 


- Funktionen, die von mehreren Variablen abhängen, mit grundlegenden Konzepten (Stetigkeit, totale und partielle Differenzierbarkeit, 

Integration) analysieren 

- geometrische Zusammenhänge in mehrdimensionalen Raeumen mit topologischen Grundkonzepten untersuchen 

Inhalt 

Teil 1: Reelle und komplexe Zahlen, Vollständigkeit, Konvergenz von Folgen und Reihen, Topologie der reellen Zahlen, Kompaktheit, 

Funktionsbegriff, Stetige Funktionen, Elementare Funktionen, Differenzierbare Funktionen, Mittelwertsatz, Satz von Taylor, 

Integralrechnung, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Integrationstechniken 

Teil 2: Konvergenz von Funktionenfolgen, Potenzreihen, Topologie metrischer Räume, Normen auf dem n , Differentialrechnunge 

mehrerer Variablen, partielle Ableitungen, Ableitungsregeln, Gradienten, Höhere Ableitungen und Satz von Taylor in mehreren 

Variablen, Lokale Extrema, Lokale Umkehrbarkeit und implizite Funktionen, Mehrdimensionale Integration: Rechentechniken, 

Kurven im n , Integralsätze von Gauß und Stokes 

Contents 

Part 1: Real and complex numbers, completeness, convergence of sequences and series, topology of the real numbers, compactness, 

notion of a function, continuity, elementary functions, differentiation, Mean Value Theorem, Taylor’s Theorem, integral, 

Fundamental Theorem of Calculus, techniques of integration 

Part 2: Convergence of sequences of functions, power series, topology of metric spaces, norms on n , differentiation of functions 

of several variables, partial derivatives, rules of differentation, gradient, higher derivatives and Taylor‘s theorem in several variables, 

local extrema, inverse and implicit function theorems, integration on n , curves in n , integral theorems of Gauß and Stokes 

Literatur 

O. Forster: Analysis I, II. Vieweg 

H. Heuser: Lehrbuch der Analysis 1, 2 

Teubner K. Königsberger: Analysis 1, 2, Springer 

Charles R. MacCluer, Honors Calculus, Princeton Univ. Press 

W.Rudin: Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill 

5

Einführung in das wissenschaftlich-technische Programmieren 

Introduction to scientific programming 

Modulnummer: 04-10-0010/de (Bausteine: 04-00-0009-ku) 

Forschungsgebiet: 

Administration: Gerisch 

Konzeption: Gerisch, Lang, Kiehl 


Bemerkungen: 


Dauer: Blockkurs 14 Tage 

Turnus: jedes SS kurz vor Beginn des WS 

Lehrformen: 2V + 1P 


Voraussetzungen: 

Leistungsnachweise: Für B.Sc.Math, B.Sc.WiMa, B.Sc.MCS, B.Sc.M&E: erste erfolgreiche Programmieraufgabe im 

Rahmen von Einführung in die Numerische Mathematik. 

Für B.Sc.CE, BSc.AngMech: Programmiertestate, Abschlusstestat 


Die Studierenden können grundlegende Techniken des wissenschaftlich- technischen Programmierens anhand einer 

Programmiersprache wiedergeben und beschreiben und durch sicheren und vertrauten Umgang mit der Sprache zur 

Umsetzung vorgelegter numerischer Algorithmen anwenden. Sie sollen Algorithmen effizient und klar strukturiert implementieren, 

und auf leicht modifizierte Problemstellungen anpassen können. 

Inhalt 

Einführung in eine Programmiersprache wie Matlab oder C, Datentypen, Ausdrücke, Standardfunktionen, Vektorbefehle, 

logische Operationen, Kontrollstrukturen, Eingabe und Ausgabe, Unterprogramme, Graphik. 

Contents 

Introduction to a programming language (Matlab, C, etc.), data types, expressions, standard functions, vector operations, 

boolean operations, control flow statements, input, output, subroutines, graphics. 

Literatur 

• Matlab User Guide, The Mathworks (Online-Hilfe). 

• R. Kutzner und S. Schoof, RRZN-Handbuch MATLAB/Simulink, 2010. 

• C.W. Überhuber, S. Katzenbeisser und D. Praetorius, MATLAB 7, Springer Verlag, 2005. 

• D.J. Higham und N.J. Higham, MATLAB Guide, 2. Auflage, SIAM, 2005. 

6

Einführung in die mathematische Software 

Introduction to mathematical software 

Modulnummer: 04-10-0009/de (Bausteine: 04-00-0190-vl) 


Administration: Joswig 

Konzeption: Joswig, Lorenz 


Bemerkungen: 



Turnus: jährlich 

Lehrformen: 1V + 1Ü 



Leistungsnachweise: erfolgreiche Bearbeitung von Übungs- und Programmieraufgaben 


Nachdem Studierende das Modul besucht haben, können sie mindestens 

o ein allgemeines mathematisches Softwarepaket bedienen, sowie 

o einfache mathematische Sachverhalte algorithmisch umsetzen. 

Inhalt 

Es werden Inhalte der Veranstaltungen Lineare Algebra 1 und Analysis 1 einbezogen. Z.B. Mathematica oder Maple: 

Matrixarithmetik und lineare Gleichungssysteme, Unterschiede zwischen symbolischem und numerischem Rechnen, Differenzieren 

und Integrieren, Grenzwerte und Reihen, Graphik und Visualisierung, Definition von Funktionen und Programmierung 

Contents 

Contents of Linear Algebra 1 and Analysis 1 are incorporated. Software supported symbolic and numerical solution of 

elementary and basic mathematical problems. For instance, Mathematica or Maple: matrix arithmetic and systems of 

linear equations, difference between symbolic and numerical computation, differentiation and integration; limits and 

series; graphics and and visualisation; definition of functions and programming. 

Literatur 

David Withoff: Mathematica Tutorials, 

http://library.wolfram.com/conferences/devconf99/withoff/index2.html 

MapleSoft Application Center, 

http://www.maplesoft.com/applications/ 

7

Introduction to Mathematical Software 

Einführung in mathematische Software 

Modulnummer: 04-10-0009/en (Bausteine: 04-00-0045-vl) 





Bemerkungen: 







Leistungsnachweise: erfolgreiche Bearbeitung von Übungs-und Programmieraufgaben 


Nachdem Studierende das Modul besucht haben, können sie mindestens 

o ein allgemeines mathematisches Softwarepaket bedienen, sowie 

o einfache mathematische Sachverhalte algorithmisch umsetzen. 

Inhalt 

Es werden Inhalte der Veranstaltungen Lineare Algebra 1 und Analysis 1 einbezogen. 

Z.B. Mathematica oder Maple: Matrixarithmetik und lineare Gleichungssysteme, Unterschiede zwischen symbolischem 

und numerischem Rechnen, Differenzieren und Integrieren, Grenzwerte und Reihen, Graphik und Visualisierung, Definition 

von Funktionen und Programmierung 

Contents 

Contents of Linear Algebra 1 and Analysis 1 are incorporated. 

Software supported symbolic and numerical solution of elementary and basic mathematical problems. For instance, 

Mathematica or Maple: matrix arithmetic and systems of linear equations, difference between symbolic and numerical 

computation, differentiation and integration; limits and series; graphics and and visualisation; definition of functions and 

programming. 

Literatur 

David Withoff: Mathematica Tutorials, 

http://library.wolfram.com/conferences/devconf99/withoff/index2.html 

MapleSoft Application Center, 

http://www.maplesoft.com/applications/ 

8

Linear Algebra 

Lineare Algebra 

Modulnummer: 04-10-0006/en (Bausteine: 04-00-0012-tt, 04-00-0012-vu, 04-00-0041-tt, 04-00-0041-vu) 

Forschungsgebiet: Algebra (alg) 

Administration: Otto 

Konzeption: Scheithauer, Bruinier, Otto 


Bemerkungen: 



Turnus: in der Regel jedes 2. WS 






Students will be able to recognise the concepts of linear algebra in various contexts, and to apply and explain them. In particular, 

they will have learnt to apply abstract-axiomatic notions of linear algebra to typical problems, to connect them with geometric 

concepts, to solve typical problems and to conduct simple proofs. 

Inhalt 

Teil 1: allgemeine mathematische und algebraische Grundbegriffe, algebraische Strukturen (Gruppen, Ringe, Körper); Vektorräume, 

lineare Abhängigkeit, Basen, Dimension; lineare und affine Unterräume, Produkte, Summen, Quotienten, Dualraum; lineare 

Abbildungen und Matrizen; lineare Gleichungssysteme; Determinanten 

Teil 2: Eigenwerte und Diagonalisierung von Endomorphismen; charakteristisches Polynom und Minimalpolynom im Polynomring 

einer Variablen, Jordan-Normalform; Euklidische und unitäre Vektorräume; Bilinearformen, quadratische Formen, Quadriken; ggf. 

Ausblicke zu affiner und projektiver Geometrie, Geometrie der Kegelschnitte oder auch zur multilinearen Algebra 

Contents 

Part 1: basic notions and concepts, algebraic structures (groups, rings, fields); vector spaces, linear dependence, bases, dimension; 

linear and affine subspaces, products, sums and quotients, dual space; linear maps and matrices; determinants; 

Part 2: systems of linear equations; eigenvalues and diagonalisation of endomorphisms; characteristic an minimal polynomials in 

the ring of univariate polynomials; Jordan normal form; euclidean and unitary spaces; bilinear forms, quadratic forms, quadrics; 

possible excursions: affine and projective geometry, geometry of conic sections, or elements of multilinear algebra 

Literatur 

Bosch: Lineare Algebra 

Brieskorn: Lineare Algebra und Analytische Geometrie 

Bröcker: Lineare Algebra und Analytische Geometrie 

Fischer: Lineare Algebra 

Greub: Linear Algebra (auch deutsch) 

Koecher: Lineare Algebra und Analytische Geometrie 

9

Lineare Algebra 

Linear Algebra 

Modulnummer: 04-10-0006/de (Bausteine: 04-00-0008-tt, 04-00-0008-vu, 04-00-0042-tt, 04-00-0042-vu) 



Konzeption: Scheithauer, Bruinier, Otto 


Bemerkungen: 



Turnus: jedes Semester 






Die Studierenden können die Konzepte der linearen Algebra in verschiedenen Zusammenhängen erkennen, anwenden und erklären. 

Sie lernen insbesondere, abstrakt-axiomatisch Begriffsbildungen der linearen Algebra auf einschlägige Probleme anzuwenden, mit 

geometrischen Begriffen in Verbindung zu bringen, typische Aufgaben zu lösen und einfache Beweise zu führen. 

Inhalt 

Teil 1: allgemeine mathematische und algebraische Grundbegriffe, algebraische Strukturen (Gruppen, Ringe, Körper); Vektorräume, 

lineare Abhängigkeit, Basen, Dimension; lineare und affine Unterräume, Produkte, Summen, Quotienten, Dualraum; lineare 

Abbildungen und Matrizen; lineare Gleichungssysteme; Determinanten 

Teil 2: Eigenwerte und Diagonalisierung von Endomorphismen; charakteristisches Polynom und Minimalpolynom im Polynomring 

einer Variablen, Jordan-Normalform; Euklidische und unitäre Vektorräume; Bilinearformen, quadratische Formen, Quadriken; ggf. 

Ausblicke zu affiner und projektiver Geometrie, Geometrie der Kegelschnitte oder auch zur multilinearen Algebra 

Contents 

Part 1: basic notions and concepts, algebraic structures (groups, rings, fields); vector spaces, linear dependence, bases, dimension; 

linear and affine subspaces, products, sums and quotients, dual space; linear maps and matrices; determinants; 

Part 2: systems of linear equations; eigenvalues and diagonalisation of endomorphisms; characteristic an minimal polynomials in 

the ring of univariate polynomials; Jordan normal form; euclidean and unitary spaces; bilinear forms, quadratic forms, quadrics; 

possible excursions: affine and projective geometry, geometry of conic sections, or elements of multilinear algebra 

Literatur 

Bosch: Lineare Algebra 

Brieskorn: Lineare Algebra und Analytische Geometrie 

Bröcker: Lineare Algebra und Analytische Geometrie 

Fischer: Lineare Algebra 

Greub: Linear Algebra (auch deutsch) 

Koecher: Lineare Algebra und Analytische Geometrie 

10

Algorithmic Discrete Mathematics 

Algorithmische diskrete Mathematik 

Modulnummer: 04-10-0020/en (Bausteine: 04-00-0005-vu) 

Forschungsgebiet: Optimierung (opt) 




Bemerkungen: 






Voraussetzungen: Analysis und Lineare Algebra 

Leistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur Modulprüfung 


Nach dem Besuch des Moduls kennen die Studierenden diskrete Strukturen, verstehen die algorithmische Sichtweise 

anhand exemplarischer Probleme aus verschiedenen Bereichen der Mathematik. 

Inhalt 

Graphentheorie: Eulersche Graphen, aufspannende Bäume, kürzeste Wege, Handlungsreisenden-Problem 

Wachstum von Funktionen und asymptotische Komplexitätsanalyse 

Suchprobleme, Sortieren und Entscheidungsbäume 

Codierung/Kryptographie: Huffman-Codierung, RSA-Algorithmus 

Weitere Themen (in Auswahl): Matchings in bipartiten Graphen, Flussalgorithmen 

Contents 

Graph Theory: Eulerian graphs, spanning trees, shortest paths, Travelling Sales Person Problem 

Growth of functions and asymptotic analysis of complexity 

Searching and sorting 

Coding/cryptography: Huffman coding, RSA algorithm 

Other Topics (selection): matchings in bipartite graphs, flow algorithms 

Literatur 

M. Aigner, Diskrete Mathematik, 5. Auflage, Vieweg, 2003. 

T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein: Introduction to algorithms, 2. Auflage, B&T, 2001. 

R. L. Graham, D. E. Knuth and O. Patashnik, Concrete Mathematics, Second edition, Addison-Wesley, Reading, MA, 

1994. 

J. Matoušek, J. Nešetril, Diskrete Mathematik. Eine Entdeckungsreise, Springer, 2002. 

11

Algorithmische diskrete Mathematik 

Algorithmic Discrete Mathematics 

Modulnummer: 04-10-0020/de (Bausteine: 04-00-0005-vu) 





Bemerkungen: 









Nach dem Besuch des Moduls kennen die Studierenden diskrete Strukturen, verstehen die algorithmische Sichtweise 

anhand exemplarischer Probleme aus verschiedenen Bereichen der Mathematik. 

Inhalt 

Graphentheorie: Eulersche Graphen, aufspannende Bäume, kürzeste Wege, Handlungsreisenden-Problem 

Wachstum von Funktionen und asymptotische Komplexitätsanalyse 

Suchprobleme, Sortieren und Entscheidungsbäume 

Codierung/Kryptographie: Huffman-Codierung, RSA-Algorithmus 

Weitere Themen (in Auswahl): Matchings in bipartiten Graphen, Flussalgorithmen 

Contents 

Graph Theory: Eulerian graphs, spanning trees, shortest paths, Travelling Sales Person Problem 

Growth of functions and asymptotic analysis of complexity 

Searching and sorting 

Coding/cryptography: Huffman coding, RSA algorithm 

Other Topics (selection): matchings in bipartite graphs, flow algorithms 

Literatur 


T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein: Introduction to algorithms, 2. Auflage, B&T, 2001. 


1994. 


12

Arbeitstechniken in der Mathematik 

Working skills in mathematics 

Modulnummer: 04-10-0014/de (Bausteine: 04-00-0146-ku) 


Administration: Bruder 

Konzeption: Bruder, Kümmerer 


Bemerkungen: 



Turnus: jedes WS 

Lehrformen: gemischt: Vorträge, Seminar und Übung 



Leistungsnachweise: Studienleistung im Rahmen der Übungen und des Proseminars 


Nach dem Besuch des Moduls können die Studierenden fachspezifiche und grundlegende Schreib-und Arbeitstechniken 

nutzen sowie Präsentations- und Diskussionstechniken anwenden, insbesondere zu mathematischen Sachverhalten. 

Inhalt 

Strukturierung einer mathematischen Ausarbeitung, Literaturrecherche (auch elektronisch), Erstellung eines mathematischen 

Textes mit Hilfe eines mathematischen Textverarbeitungssystems, Präsentationstechniken, exemplarische Analyse 

an Beispielen, Diskussion und Kritik. 

Contents 

Techniques of writing mathematical texts, literature search, software supported writing of mathematical texts, mathematical 

typesetting programs, techniques for the presentation of mathematical material, practice with concrete examples, 

feed back and discussion. 

Literatur 

Beutelspacher: Das ist oBdA trivial! 

Vieweg Bünting, Bitterlich, Pospiech: Schreiben im Studium: ein Trainingsprogramm 

Cornelsen Doob et al.: A manual for authors of mathematical papers, AMS 

Higham: Handbook of Writing for the Mathematical Scienes, SIAM 

Kämer: Wie schreibe ich eine Seminar-oder Examensarbeit? 

Fischer van Gasteren: On the shape of mathematical arguments, Springer 

13

Complex Analysis 

Funktionentheorie 



Administration: Hieber 

Konzeption: Hieber, Scheithauer, Farwig, Haller-Dintelmann, Bruinier, Große-Brauckmann, Kümmerer 


Bemerkungen: 









Nach dem Besuch des Moduls 

- sind sie mit den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen vertraut 

- können sie Kurvenintegrale analysieren und berechnen 

- sind sie mit dem Cauchyschen Integralsatz und der Cauchyschen Integralformel vertraut und können deren Implikationen 

aufzeigen 

- sind sie mit der Bedeutung der Potenzreihen in der Funktionentheorie vertraut 

- können sie den Satz von Liouville und den Hauptsatz der Algebra erklären 

- können sie Laurentreihen analysieren 

- können sie isolierte Singularitäten anhand konkreter Beispiele erklären 

- sind mit dem Residuensatz und dessen Implikationen vertraut 

Inhalt 

Cauchy-Riemann Differentialgleichungen, Kurvenintegrale, Cauchy’scher Integralsatz, Cauchy’sche Integralformel, Potenzreihen, 

Satz von Liouville und Hauptsatz der Algebra, Umlaufzahl Laurentreihen und isolierte Singularitäten, Residuensatz 

Contents 

Cauchy-Riemann differential equations, curve integrals, Cauchy’s Integral Theorem and Formula; analyticity, Liouville’s 

Theorem and Fundamental Theorem of Algebra; Winding Number; Laurent series and isolated singularities, Residue 

Theorem. 

Literatur 

Freitag: Funktionentheorie I, Springer 

Remmert: Funktionentheorie I 

Conway: Functions of one complex variable, Springer 

14

Einführung in die Algebra 

Introduction to Algebra 



Administration: Bruinier 

Konzeption: Scheithauer, Bruinier 


Bemerkungen: 



Turnus: jedes SS 



Voraussetzungen: Lineare Algebra 



Die Studenten verstehen die grundlegenden Begriffe und Methoden der Gruppentheorie und können diese auf typische 

Fragestellungen anwenden. 

Inhalt 

Elementare Gruppentheorie, Gruppenwirkungen, Untergruppen und Faktorgruppen, endliche Gruppen, Sylowsätze. 

Contents 

Elementary group theory, group actions, subgroups and quotient groups, finite groups, Sylow Theorems. 

Literatur 

S. Lang: Algebra, Addison-Wesley; 

N. Jacobson: Basic Algebra 1, Freeman 

S. Bosch: Algebra, Springer 

15

Einführung in die Numerische Mathematik 

Introduction to Numerical Analysis 


Forschungsgebiet: Numerik und Wissenschaftliches Rechnen (num) 

Administration: Lang 

Konzeption: Kiehl, Lang 


Bemerkungen: 




Lehrformen: 3V + 2Ü + 1P 


Voraussetzungen: Analysis, Lineare Algebra, Einführung in das wissenschaftlichtechnische Programmieren. 



Die Studierenden können die grundlegenden elementaren numerischen Verfahren beschreiben, erklären, implementieren 

und anwenden. 

Sie sollen die Methoden vergleichen, modifizieren und kombinieren können. 

Inhalt 

Kondition, lineare und nichtlineare Gleichungssysteme, Ausgleichsrechnung, Interpolation, Integration und Differentiation, 

Differentialgleichungen, Differenzenverfahren, Programmierübungen. 

Contents 

Condition, systems of linear and nonlinear equations, least squares minimization, interpolation, integration and differentiation, 

differential equations, difference schemes, programming exercises. 

Literatur 

Deuflhard, Hohmann: Numerische Mathematik I, de Gruyter, 2008 

Schwarz, Köckler: Numerische Mathematik; Vieweg und Teubner, 2009 

Matlab User Guide 

16

Einführung in die Stochastik 

Introduction to Stochastics 

Modulnummer: 04-10-0019/de (Bausteine: 04-00-0004-tt, 04-00-0004-vu) 

Forschungsgebiet: Stochastik (sto) 

Administration: Kohler 

Konzeption: Kohler, Betz 


Bemerkungen: 









Nach dem Besuch des Moduls können die Studierenden 

- die wichtigsten Grundideen und zentralen Ergebnisse der Stochastik im Rahmen einfacher Modelle beschreiben, 

- die wichtigsten Verfahren der Stochastik bzw. Statistik im Rahmen einfacher Modelle mathematisch analysieren und 

die dabei erlernten Beweistechniken auf verwandte Fragestellungen übertragen. 

Inhalt 

Wahrscheinlichkeitsräume und Zufallsvariablen, Verteilungsfunktionen, Erwartungswert und Varianz, Unabhängigkeit und 

elementare bedingte Erwartungen, diskrete und absolutstetige Verteilungen, Gesetz der großen Zahlen, Zentraler Grenzwertsatz, 

Schätz-und Testtheorie, Schätzen und Konfidenzintervalle und Tests unter Normalverteilungsannahmen 

Contents 

Probability spaces and random variables, distribution functions, expectation and variance, independence and elementary 

conditional expectations, discrete and absolutely continuous distributions, Law of Large Numbers, Central Limit Theorem, 

estimation and confidence intervals, testing under the hypothesis of normality. 

Literatur 

Eckle-Kohler, Kohler: Eine Einführung in die Statistik und ihre Anwendungen; 

Irle: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik; 

Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik; 

Georgii: Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik; 

17

Modulnummer: (Bausteine: 40-21-0790-ku) 



Konzeption: Otto 


Bemerkungen: 




English for Mathematicians 

Englisch für Mathematiker 

Lehrformen: Kurs mit sprachpraktischen Übungen (2) 


Voraussetzungen: Analysis und Lineare Algebra, solide Grundkenntnisse Englisch 

Leistungsnachweise: Studienleistung 


Students will be made aware of language quality and style in the communication of mathematics in the medium of 

English. They will analyse and practice written and oral communication with particular emphasis on mathematical ideas, 

mathematical argument and clarity and precision in mathematical expression. As a result they will learn to express 

themselves in English at a level appropriate for mathematical presentations, both orally and in writing. 

Inhalt 

Contents 

Communication in an international scientific environment: oral and written presentations in English; specific modes of 

mathematical communication. English for mathematical papers and English for mathematical presentations: logic and 

structure of mathematical argument and exposition; idiom and style of good mathematical writing. Idiosyncrasies of 

Mathematical English: common mathematical terminology; specific vocabulary; terms of Greek and Latin origin; spelling 

and pronunciation; grammar and punctuation; symbols and abbreviations; phraseology, diction and elocution. Analysis 

of mathematical text samples. Common mistakes and pitfalls: spelling, pronunciation, grammar and sentential structure, 

punctuation, idiomatics, etc. 

Literatur 

Higham: Handbook of Writing for the Mathematical Sciences 

Krantz: A Primer of Mathematical Writing 

Steenrod, Halmos, Schiffer, Dieudonne: How to Write Mathematics 

Trzeciak: Writing Mathematical Papers in English 

18

Formale Grundlagen der Informatik 

Mathematical Foundations of CS 

Modulnummer: 04-10-0233/de (Bausteine: 04-00-0091-vu, 04-00-0090-vu) 

Forschungsgebiet: Logik (log) 

Administration: Streicher 

Konzeption: Kohlenbach, Otto, Streicher, Ziegler 


Bemerkungen: 






Voraussetzungen: allg. mathematisches Grundwissen 

Leistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur Modulprüfung 


Die Studierenden können die einschlägigen Begriffe, Methoden und Beweistechniken aus diskreter Mathematik und Logik im Zusammenhang 

der mathematischen Grundlagen der theoretischen Informatik interpretieren, einordnen und anwenden. Insbesondere 

beherrschen sie die Grundlagen der Analyse formaler Sprachen und abstrakter Berechnungsmodelle. Sie können die Grundbegriffe 

der mathematischen Logik anhand typischer Fragestellungen der theoretischen Informatik erläutern, auf Beispiele anwenden, 

algorithmische Methoden diskutieren und deren Grenzen anhand einschlägiger Sätze illustrieren. 

Inhalt 

Automatentheorie, Sätze von Kleene, Myhill–Nerode, Grammatiken und Chomsky-Hierarchie, kontextfreie Sprachen, Pumping 

Lemmata, Berechnungsmodelle, Kellerautomaten, Turingmaschinen, Entscheidbarkeit und Aufzählbarkeit; 

Aussagenlogik, Kompaktheit, vollständige Beweiskalküle; 

Logik erster Stufe, Strukturen und Belegungen, Skolemisierung, Satz von Herbrand, Kompaktheitssatz, Beweiskalküle, Gödelscher 

Vollständigkeitssatz, Unentscheidbarkeit der Logik erster Stufe; 

optional: Exkurse zu Ausdrucksstärke und model checking 

Contents 

finite automata and regular languages, Kleene Theorem, Myhill–Nerode Theorem, grammars and Chomsky hierarchy, context-free 

languages, pumping lemmas, models of computation, PDA, Turing machines, decidability and recursive enumerability; 

propositional logic: compactness, complete proof calculi; 

first-order logic: structures and assignments, Skolemisation, Herbrand Theorem, compactness theorem, proof calculi, Gödel’s 

completeness theorem, undecidability of first-order logic; 

optional: digressions on expressiveness and model checking 

Literatur 

Hopcroft, Motwani, Ullman: Einführung in die Automatentheorie, formale Sprachen und Komplexitätstheorie 

Schöning: Theoretische Informatik – kurz gefasst 

Boolos, Burgess, Jeffrey: Computability and Logic 

Burris: Logic for Mathematics and Computer Science 

Skripte (elektronisch unter www.mathematik.tu-darmstadt.de/õtto) 

19

Funktionentheorie 

Complex Analysis 




Konzeption: Kümmerer, Scheithauer, Farwig, Hieber, Haller-Dintelmann, Bruinier, Große-Brauckmann 


Bemerkungen: 



Turnus: unregelmäßig im WS 







- sind sie mit den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen vertraut 

- können sie Kurvenintegrale analysieren und berechnen 

- sind sie mit dem Cauchyschen Integralsatz und der Cauchyschen Integralformel vertraut und können deren Implikationen 

aufzeigen 

- sind sie mit der Bedeutung der Potenzreihen in der Funktionentheorie vertraut 

- können sie den Satz von Liouville und den Hauptsatz der Algebra erklären 

- können sie Laurentreihen analysieren 

- können sie isolierte Singularitäten anhand konkreter Beispiele erklären 

- sind mit dem Residuensatz und dessen Implikationen vertraut 

Inhalt 

Cauchy-Riemann Differentialgleichungen, Kurvenintegrale, Cauchy’scher Integralsatz, Cauchy’sche Integralformel, Potenzreihen, 

Satz von Liouville und Hauptsatz der Algebra, Umlaufzahl Laurentreihen und isolierte Singularitäten, Residuensatz 

Contents 

Cauchy-Riemann differential equations, curve integrals, Cauchy’s Integral Theorem and Formula; analyticity, Liouville’s 

Theorem and Fundamental Theorem of Algebra; Winding Number; Laurent series and isolated singularities, Residue 

Theorem. 

Literatur 

Freitag: Funktionentheorie I, Springer 

Remmert: Funktionentheorie I, Springer 

Conway: Functions of one complex variable, Springer 

20

Gewöhnliche Differentialgleichungen 

Ordinary Differential Equations 




Konzeption: Farwig, Hieber, Haller-Dintelmann, Kümmerer 


Bemerkungen: 










- können sie die Methode der Trennung der Variablen 

- sind sie mit den Sätzen von Picard-Lindelöf und Peano vertraut 

- sind sie mit der lokalen und globalen Existenztheorie gewöhnlicher Differentialgleichungen vertraut 

- können sie lineare Systeme erster und höherer Ordnung analysieren 

- können Sie die Variation der konstanten Formel entwickeln 

- können sie das Prinzip linearisierter Stabilität formulieren und anwenden 

- sollten sie den Begriff der Lyapunov Stabilität erklären und auf konkrete Beispiele anwenden können 

Inhalt 

Trennung der Variablen, Sätze von Picard-Lindelöf und Peano, lokale und globale Theorie, lineare Systeme erster und 

höherer Ordnung, Variation-der-Konstanten-Formel, Prinzip linearisierter Stabilität, Lyapunov-Stabilität. 

Contents 

Separation of variables, Theorems of Picard-Lindelöf and Peano, local and global theory, linear systems of first and higher 

order, variation of constants formula, linearised stability, Lyapunov stability. 

Literatur 

H. Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen, de Gruyter 

W.Walther: gew. DGL, Springer 

21

Integrationstheorie 

Integration Theory 

Modulnummer: 04-10-0015/de (Bausteine: 04-00-0013-vu, 04-00-0143-vu) 


Administration: Farwig 

Konzeption: Farwig, Hieber, Haller-Dintelmann, Große-Brauckmann, Kümmerer 


Bemerkungen: 










- die Herleitung von Maßen skizzieren und einen verallgemeinerten Integralbegriff aufbauen sowie mit dem klassischen 

Riemann-Integral vergleichen 

- in Anwendungen geeignete Konvergenzsaetze auswählen und erklären 

- Maß- und Integrationsbegriffe auf Untermannigfaltigkeiten erweitern und im Kontext von Integralsätzen kombinieren 

Inhalt 

Teil I. Mengensysteme, Maße, Maßraum, Parallelen zur Topologie, äußere Maße, Satz von Carathéodory, Lebesguesche 

Maße, messbare Funktionen, integrierbare Funktionen, Lebesgue-Integral, Konvergenzsätze, L p -Räume, Satz von Fubini 

in n , Transformationssatz und Anwendungen. 

Teil II. Faltungsintegrale, Fourier Transformation; Untermannigfaltigkeiten, Oberflächenmaße, Sätze von Gauß, Stokes, 

Green. 

Contents 

Part I. σ-algebras, measures, outer measures and Carathéodory’s theorem, Lebesgue measure; measurable functions, 

Lebesgue integral, convergence theorems, L p -spaces, Fubini’s theorem in n change of variables formula. 

Part II. Convolution integrals, Fouriertransform; Submanifolds, surface measures, divergence theorem, Green’s theorem, 

Stokes’ theorem. 

Literatur 

J. Elstrodt: Mass-und Integrationstheorie, Springer 

O. Forster: Analysis 3, Vieweg 

S. Lang: Real Analysis, Addison-Wesley 

H.Amann, J.Escher: Analysis III, Birkhäuser 

22

Integrationstheorie I (für Wirtschaftsmathematik) 

Integration Theory I 




Konzeption: Farwig, Hieber, Haller-Dintelmann 


Bemerkungen: 


Dauer: 1/2 Semester 








- die Herleitung von Maßen skizzieren und einen verallgemeinerten Integralbegriff aufbauen sowie mit dem klassischen 

Riemann-Integral vergleichen 

- in Anwendungen geeignete Konvergenzsätze auswählen und erklären 

Inhalt 

Mengensysteme, Maße, Maßraum, Parallelen zur Topologie, äußere Maße, Satz von Carathéodory, Lebesguesche Maße, 

messbare Funktionen, integrierbare Funktionen, Lebesgue-Integral, Konvergenzsätze, L p -Räume, Satz von Fubini in n , 

Transformationssatz und Anwendungen 

Contents 

Measures, measure space, Theorem of Caratheodory, Lebesgue measure, mesurable functions, integrable functions, Lebesgue 

integral, convergence theorems, L p spaces, Fubini’s theorem, change of variable formula and applications. 

Literatur 

J. Elstrodt: Mass-und Integrationstheorie, Springer 

S. Lang: Real Analysis, Addison-Wesley 

H.Amann, J.Escher: Analysis III, Birkhäuser 

23

Integrationstheorie II (für Wirtschaftsmathematik) 

Integration Theory II 




Konzeption: Farwig, Hieber, Haller-Dintelmann, Große-Brauckmann 


Bemerkungen: 


Dauer: 1/2 Semester 




Voraussetzungen: Analysis, Lineare Algebra und Integrationstheorie I (Wima) 




- Maß- und Integrationsbegriffe auf Untermannigfaltigkeiten erweitern und im Kontext von Integralsätzen kombinieren 

Inhalt 

Faltungsintegrale, Fourier Transformation; Untermannigfaltigkeiten, Oberflächenmaße, Sätze von Gauß, Stokes, Green. 

Contents 

Convolution integrals, Fouriertransform; Submanifolds, surface measures, divergence theorem, Green’s theorem, Stokes’ 

theorem. 

Literatur 

O. Forster: Analysis 3, Vieweg; S. Lang: Real Analysis, Addison-Wesley; H. Amann, J. Escher: Analysis III, Birkhäußer 

24

Lehren und Lernen von Mathematik 

Teaching and Learning Mathematics 


Forschungsgebiet: Didaktik (did) 

Administration: Bruder 

Konzeption: Bruder 


Bemerkungen: 






Voraussetzungen: Analysis und Lineare Algebra oder vergleichbare Vorkenntnisse 

Leistungsnachweise: Übungsprotokoll, E-Portfolioprüfung oder mündliche Portfolioprüfung (15 min), Zulassungsvoraussetzung 

zur Modulprüfung: 5 erfolgreiche schriftliche Hausübungen 


Nach dem Besuch des Moduls können die Studierenden Gestaltungsmodelle für typische Lehr- und Lernsituationen 

in mathematischer Ausbildung beschreiben und anwenden, Aufgaben auswählen und gestalten mit einem definierten 

Kompetenzprofil und können die Ziele und Inhalte mathematischer Lernumgebungen begründen 

Inhalt 

Modelle zur Behandlung typischer Unterrichtssituationen, Aufgabentheorie, Lernzieltypologie, Wege zum langfristigen 

Kompetenzaufbau 

Contents 

Models of teaching Mathematics, theory of tasks, types of learning goals, methods for long-term development of competences 

Literatur 

Skript 

Bruder,R., Leuders,T., Büchter,A. (2008): Mathematikunterricht entwickeln, Cornelsen Verlag Scriptor. 

25

Logic and Foundations 

Logik und Grundlagen 

Modulnummer: 04-10-0021/en (Bausteine: 04-00-0145-vl) 


Administration: Kohlenbach 

Konzeption: Kohlenbach, Otto 


Bemerkungen: 



Turnus: in der Regel alle 2 Jahre im SS 

Lehrformen: 2V 


Voraussetzungen: allgemeines mathematisches Grundwissen aus dem 1. Fachsemester 




1) einfache mathematische Aussagen in formalen Systemen formalisieren 

2) elementare Konstruktionen und Beweise im Rahmen der Mengenlehre erstellen; 

3) Begriffe der Berechenbarkeitstheorie verstehen; 

4) Fragen beantworten wie: Was ist eine wahre Aussage, was ein Beweis? Wo liegt der Unterschied zwischen Mengen 

und Klassen? Wie misst man Grade der Unendlichkeit? Kann man jede wahre mathematische Aussage beweisen? 

Inhalt 

Elementare Logik: Aussagenlogik und Logik erster Stufe; Syntax, Semantik und Beweiskalküle. Elementare axiomatische 

Mengenlehre; mengentheoretische Modellierung mathematischer Objekte; Ordinalzahlen, Kardinalzahlen. Berechenbarkeit, 

Entscheidbarkeit und Aufzählbarkeit anhand eines einfachen Berechnungsmodells. 

Contents 

Elementary logic: propositional logic and first order logic; syntax, semantics and deductive calculi. Basic axiomatic set 

theory; set-theoretic construction of basic mathematical entities; ordinal and cardinal numbers. Computability, decidability 

and recursive enumerability based on a simple model of computation. 

Literatur 

(Exemplarisch) 

Forster, T.: Logic, Induction and Sets. CUP, 234pp., 2003 

Kay, R.: The Mathematics of Logic. CUP, 204pp., 2007 

Schindler, R.: Logische Grundlagen der Mathematik. Springer, 203pp., 2009. 

26

Logik und Grundlagen 

Logic and Foundations 



Administration: Kohlenbach 

Konzeption: Kohlenbach, Otto 


Bemerkungen: 






Voraussetzungen: allgemeines mathematisches Grundwissen aus dem 1. Fachsemester 




1) mathematische Aussagen in formalen Systemen einfach formalisieren und mit formalen Beweisen umgehen; 

2) elementare Konstruktionen und Beweise im Rahmen der Mengenlehre erstellen; 

3) Begriffe der Berechenbarkeitstheorie verstehen; 

4) Fragen beantworten wie: Was ist eine wahre Aussage, was ein Beweis? Wo liegt der Unterschied zwischen Mengen 

und Klassen? Wie misst man Grade der Unendlichkeit? Kann man jede wahre mathematische Aussage beweisen? 

Inhalt 

Elementare Logik: Aussagenlogik und Logik erster Stufe; Syntax, Semantik und Beweiskalküle. Elementare axiomatische 

Mengenlehre; mengentheoretische Modellierung mathematischer Objekte; Ordinalzahlen, Kardinalzahlen. Berechenbarkeit, 

Entscheidbarkeit und Aufzählbarkeit anhand eines einfachen Berechnungsmodells. 

Contents 

Elementary logic: propositional logic and first order logic; syntax, semantics and deductive calculi. Basic axiomatic set 

theory; set-theoretic construction of basic mathematical entities; ordinal and cardinal numbers. Computability, decidability 

and recursive enumerability based on a simple model of computation. 

Literatur 

(Exemplarisch) 

Forster, T.: Logic, Induction and Sets. CUP, 234pp., 2003 

Kay, R.: The Mathematics of Logic. CUP, 204pp., 2007 

Schindler, R.: Logische Grundlagen der Mathematik. Springer, 203pp., 2009. 

27

Mathematik im Kontext 

Mathematics in Context 



Administration: Kümmerer 

Konzeption: Kümmerer 


Bemerkungen: 



Turnus: in der Regel alle zwei Jahre im SS (im Wechsel mit “Logik und Grundlagen“) 






Die Studierenden sind in der Lage, anhand konkreter mathematischer Inhalte Mathematik in ihren Wechselwirkungen zu 

Kultur und Gesellschaft zu beschreiben, die Rolle der Mathematik in ihren verschiedenen Kontexten zu beurteilen und 

das Fach Mathematik in Beruf und Öffentlichkeit angemessen zu vertreten. 

Inhalt 

Ausgewählte Kapitel der Mathematik im historischen und kulturhistorischen Kontext. Insbesondere 

-Überblick über die Geschichte der Mathematik; 

-Zahlen von der Antike bis heute; 

-Irrationale Zahlen, Fibonacci-Zahlen, Kettenbrüche; 

-Unendlichkeit von Zenon bis Cantor; 

-Unendlich kleine Größen, Maßtheorie und Nichtstandard-Analysis; 

-Mathematik in Schule und Universität im Vergleich. 

Contents 

Selected chapters from mathematics in their historical context. In particular 

-Outline of the history of mathematics; 

-Numbers from antiquity to modern times; 

-Irrational numbers, Fibonacci numbers, continued fractions; 

-Infinity from Zenon to Cantor; 

-Infinitely small quantities, measure theory, and non-standard analysis; 

-School mathematics versus university mathematics 

Literatur 

Victor Katz: A History of Mathematics. Harper Collins, 1993. 

C. Boyer: A History of Mathematics. John Wiley, 1968ff. 

C. C. Gillispie: Dictionary of Scientific Biography. Charles Scribner’s Sons, 1970 - 1991. 

P. J. Davies, R. Hersh: Erfahrung Mathematik. Birkhäuser, 1994. 

M. Kline: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press, 1972. 

H. Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Springer, 2008. 

28

Proseminar 

Proseminar 

Modulnummer: 04-10-0025/de (Bausteine: 04-00-0047-ps) 


Administration: Scheithauer 

Konzeption: Kohlenbach, Scheithauer 


Bemerkungen: 


Dauer: 1 Semester oder Blockveranstaltung 


Lehrformen: 2PS 



Leistungsnachweise: eigener Vortrag, Ausarbeitung, Beteiligung an der Diskussion anderer Vorträge 


Die Studenten können eine Literaturrecherche durchführen, sich ein mathematisches Thema im Selbststudium aneignen 

und dieses in einem Vortrag anschaulich präsentieren. Gegebenenfalls können sie den Sachverhalt auch schriftlich 

angemessen darstellen. 

Inhalt 

Ein einfaches Thema wird an einzelne Studierende oder an kleine Gruppen vergeben. Die fachlichen Inhalte sind themenabhängig. 

Einzelne Seminarthemen können auch Projektcharakter haben. Jeder Teilnehmer präsentiert in einem 

wenigstens einstündigen Vortrag das Thema dem gesamten Seminar. 

Contents 

A simple topic is assigned to individual students or to small groups of students. The subject matter may vary with 

the instructor’s choice of a general theme. The seminar may have a project format. Each participant gives a one hour 

presentation to the seminar. 

Literatur 

wird je nach Thema angegeben 

29

Proseminar (english) 

Proseminar (englisch) 

Modulnummer: 04-10-0026/en (Bausteine: 04-00-0147-ps) 


Administration: Scheithauer 

Konzeption: Kohlenbach, Scheithauer 


Bemerkungen: 




Lehrformen: 2PS 



Leistungsnachweise: eigener Vortrag, Ausarbeitung, Beteiligung an der Diskussion anderer Vorträge 


Die Studenten können eine Literaturrecherche durchführen, sich ein mathematisches Thema im Selbststudium aneignen 

und dieses in einem Vortrag anschaulich präsentieren. Gegebenenfalls können sie den Sachverhalt auch schriftlich 

angemessen darstellen. 

Inhalt 

Ein einfaches Thema wird an einzelne Studierende oder an kleine Gruppen vergeben. Die fachlichen Inhalte sind themenabhängig. 

Einzelne Seminarthemen können auch Projektcharakter haben. Jeder Teilnehmer präsentiert in einem 

wenigstens einstündigen Vortrag das Thema dem gesamten Seminar. 

Contents 

A simple topic is assigned to individual students or to small groups of students. The subject matter may vary with 

the instructor’s choice of a general theme. The seminar may have a project format. Each participant gives a one hour 

presentation to the seminar. 

Literatur 

wird je nach Thema angegeben 

30

Algebra 

Algebra 



Administration: Bruinier 

Konzeption: 


Bemerkungen: Kernmodul 



Turnus: in der Regel jährlich 



Voraussetzungen: Einführung in die Algebra 



Nach dem Besuch des Moduls verstehen die Studierenden die Grundkonzepte der Ring-und Galoistheorie, haben Einblick 

in die Theorie der Moduln, beherrschen die Theorie der Körpererweiterungen (Galoistheorie) und ihrer Anwendungen. 

Inhalt 

Ringe, Polynomringe, Körpererweiterungen, Galoistheorie, Moduln 

Contents 

Rings, Polynomial rings, Field extensions, Galois theory, Modules 

Literatur 

J.C. Jantzen, J. Schwermer: Algebra, Springer 

S. Bosch: Algebra, Springer 

S. Lang: Algebra, Springer 

T.W. Hungerford: Algebra, Springer 

31

Asymptotics of evolution equations 

Asymptotik von Evolutionsgleichungen 

Modulnummer: 04-10-0319/en (Bausteine: 04-10-0319/vu) 



Konzeption: Hieber 


Bemerkungen: 






Voraussetzungen: Analysis, Funktionentheorie 



Nach der Absolvierung des Moduls können Studierende mit der Stabilitätstheorie umgehen sowie mit Dichotomie und 

invarianten Mannigfaltigkeiten. 

Inhalt 

Stabilitätstheorie von linearen Halbgruppen, Lyapunov Methode, Dichotomie, Stabilde Mannigfaltigkeiten 

Contents 

Stability theory of linear semigroups, Lyapunov method, dichotomy, stable manifolds 

Literatur 

Engel, K.-J., Nagel, R., One-parameter semigroups for linear evolution equations. Springer, New York etc., 2000. 

Arendt, w., Batty, C.J., Hieber, M., Neubrander, F., Vector-valued Laplace transforms and Cauchy porblems. Birkhäuser, 

Basel etc., 2001. 

Chicone: Ordinary Differential Equations and Applications. 

32

Bachelor Thesis 


Modulnummer: 04-10-4000/en (Bausteine: ) 


Administration: Haller-Dintelmann 

Konzeption: Haller-Dintelmann, Kohlenbach, Kümmerer, Farkas 


Bemerkungen: 


Dauer: 9 Wochen bei Bearbeitung in Vollzeit. Abgabe spätestens 6 Monate nach Beginn. 

Turnus: nach Bedarf auf Anfrage bei den Dozenten 

Lehrformen: 


Voraussetzungen: Seminar und Wahlvorlesungen in Absprache mit dem Betreuer 

Leistungsnachweise: schriftliche Arbeit 


Nach Abschluss des Moduls können die Studierenden 

- mathematische Sachverhalte korrekt präsentieren - einen mathematischen Text interpretieren - eine systematische 

Darstellung eines umfangreichen Themas aufbauen 

Die Studierenden sollen 

- ein wissenschaftliches Satzsystem wie LaTeX gebrauchen - ausführlich und verständlich erklären - das bearbeitete 

Thema auf den mathematischen Kontext beziehen 

Inhalt 

Eine Bachelor-Arbeit ist eine schriftliche mathematische Arbeit, die nach wissenschaftlichen Grundsätzen angefertigt 

wird. Typische Aufgabenstellungen sind: ein mathematisches Ergebnis auszuarbeiten oder auch bekannte Resultate neu 

zusammenzustellen. Der Fortschritt der Arbeit wird regelmäßig mit dem Betreuer diskutiert. 

Contents 

A Bachelor Thesis is a mathematical text created according to scholarly standards. Typically, a mathematical result is 

elaborated and described in detail, or, alternatively, known results are recomposed in a novel fashion. Progress in the 

work on the text is discussed regularly with the adviser. 

Literatur 

Themenabhängige Forschungsliteratur 

33

Bachelor-Arbeit 


Modulnummer: 04-10-4000/de (Bausteine: ) 


Administration: Haller-Dintelmann 

Konzeption: Haller-Dintelmann, Kohlenbach, Kümmerer, Farkas 


Bemerkungen: 


Dauer: 9 Wochen bei Bearbeitung in Vollzeit. Abgabe spätestens 6 Monate nach Beginn. 

Turnus: nach Bedarf auf Anfrage bei den Dozenten 

Lehrformen: 


Voraussetzungen: Seminar und Wahlvorlesungen in Absprache mit dem Betreuer 

Leistungsnachweise: schriftliche Arbeit 


Nach Abschluss des Moduls können die Studierenden 

- mathematische Sachverhalte korrekt präsentieren - einen mathematischen Text interpretieren - eine systematische 

Darstellung eines umfangreichen Themas aufbauen 

Die Studierenden sollen 

- ein wissenschaftliches Satzsystem wie LaTeX gebrauchen - ausführlich und verständlich erklären - das bearbeitete 

Thema auf den mathematischen Kontext beziehen 

Inhalt 

Eine Bachelor-Arbeit ist eine schriftliche mathematische Arbeit, die nach wissenschaftlichen Grundsätzen angefertigt 

wird. Typische Aufgabenstellungen sind: ein mathematisches Ergebnis auszuarbeiten oder auch bekannte Resultate neu 

zusammenzustellen. Der Fortschritt der Arbeit wird regelmäßig mit dem Betreuer diskutiert. 

Contents 

A Bachelor Thesis is a mathematical text created according to scholarly standards. Typically, a mathematical result is 

elaborated and described in detail, or, alternatively, known results are recomposed in a novel fashion. Progress in the 

work on the text is discussed regularly with the adviser. 

Literatur 

themenabhängige Forschungsliteratur 

34




Forschungsgebiet: Geometrie und Approximation (geo) 

Administration: Große-Brauckmann 

Konzeption: Scheithauer, Farwig, Bruinier, Große-Brauckmann, Kümmerer 


Bemerkungen: 






Voraussetzungen: Funktionentheorie 1 



Nach dem Besuch des Moduls können die Studierenden funktionentheoretische Methoden auf geometrische und algebraische 

Probleme anwenden. 

Inhalt 

Konforme Abbildungen, Möbiustransformationen und Riemannscher Abbildungssatz 

Partialbruch- und Produktentwicklungen, Gamma-Funktion 

Elliptische Funktionen und Kurven 

Contents 

Conformal maps, Möbius transformations and Riemann mapping theorem 

Partial fractions and product expansions, Gamma function 

Elliptic functions and curves 

Literatur 

Freitag, Busam: Funktionentheorie 1 

Conway: Functions of one complex variable I+II 

35

Complexity Theory 

Komplexitätstheorie 



Administration: Ziegler 

Konzeption: Lorenz, Otto, Ziegler 


Bemerkungen: 






Voraussetzungen: ein Proseminar aus der Logik und Logik und Grundlagen oder Formale Grundlagen der Informatik 

oder Einführung in die mathematische Logik 



Nachdem Studierende diese Veranstaltung besucht haben, koennen sie die grundlegenden Anliegen und Methoden der klassischen 

Komplexitätstheorie wiedergeben. Sie erkennen die Bedeutung und die Unterschiede des asymptotischen Ressourcenbedarfs „Zeit“ 

und „Speicher“ von einem Algorithmus und von einem Problem. Sie können die wesentlichen Komplexitätsklassen erklären und 

bewerten; sowie vergleichen, d.h. Beziehungen zwischen ihnen beweisen, und Beispielprobleme in sie einordnen. 

Inhalt 

Rechenmodelle und Ressourcen, polynomielles Wachstum; Entscheidungsprobleme SAT, 3SAT, Independent Set, Clique und Beziehungen 

zwischen ihnen; Komplexitätsklasse NP und Satz von Cook-Levin; weitere NP-vollständige Probleme; Approximationsalgorithmen 

und Güte, Nichtapproximierbarkeit; PSPACE und Vollständigkeit; Satz von Savitch; Satz von Immerman-Szelepcsényi; 

L, NL und Erreichbarkeit; parallele Komlexotät und Schaltkreise, P-Vollständigkeit; Kryptographie und UP; randomisierte Komplexotät; 

polynomielle Hierarchie 

Contents 

Models of computation and polynomially bounded resources; decision problems SAT, 3SAT, Independent Set, Clique, and relations 

among them; complexity class NP and Cook-Levin Theorem; further NP-complete problems; approximation algorithms and nonapproximability; 

PSPACE-completeness; Savitch’s Theorem; Immerman-Szelepcsényi Theorem; L, NL and graph reachability; 

parallel complexity and circuits, P-completeness; cryptographic one-way functions and UP; randomized complexity; polynomial 

hierarchy 

Literatur 

Uwe Schöning: Theoretische Informatik kurzgefasst; 

Garey/Johnson: Computers and Intractability 

Papadimitriou: Computational Complexity 

36

Differential Geometry 

Differentialgeometrie 




Konzeption: Reif, Große-Brauckmann 





Turnus: in der Regel alle 2 Jahre 



Voraussetzungen: Analysis, gew. Differentialgleichungen, Lineare Algebra 



Nach dem Besuch des Moduls haben die Studierenden eine geometrische Intuition für Krümmung entwickelt, beherrschen 

das differentialgeometrische Kalkül für Flächen und kennen elementare Methoden zur Darstellung polynomialer Kurven 

und Flächen. 

Inhalt 

Kurven: Bogenlänge und Krümmung; 

Flächen: erste Fundamentalform, Gauß-Abbildung, Weingarten-Abbildung; Hauptkrümmungen, Gauß- und mittlere 

Krümmung, Rotationsflächen; evtl. innere Geometrie; 

Modellierung: Bernstein-Polynome, Bézierkurven und -flächen; de Casteljau-Algorithmus. 

Contents 

curves: arc length and curvature; 

surfaces: first fundamental form, Gauß map, shape operator; principal curvatures, Gaussian and mean curvature, surfaces 

of revolution; perhaps intrinsic geometry; 

modelling: Bernstein polynomials, Bézier curves and surfaces; de Casterjau algorithm 

Literatur 

Bär: Elementare Differentialgeometrie 

Montiel, Ros: Curves and surfaces 

Hoschek, Lasser: Grundlagen der Geometrischen Datenverarbeitung 

37

Differentialgeometrie 

Differential Geometry 




Konzeption: Reif, Scheithauer, Große-Brauckmann 








Voraussetzungen: Analysis, gew. Differentialgleichungen, Lineare Algebra 



Nach dem Besuch des Moduls haben die Studierenden eine geometrische Intuition für Krümmung entwickelt, beherrschen 

das differentialgeometrische Kalkül für Flächen und kennen elementare Methoden zur Darstellung polynomialer Kurven 

und Flächen. 

Inhalt 

Kurven: Bogenlänge und Krümmung; 

Flächen: erste Fundamentalform, Gauß-Abbildung, Weingarten-Abbildung; Hauptkrümmungen, Gauß- und mittlere 

Krümmung, Rotationsflächen; evtl. innere Geometrie; 

Modellierung: Bernstein-Polynome, Bézierkurven und -flächen; de Casteljau-Algorithmus. 

Contents 

curves: arc length and curvature; 

surfaces: first fundamental form, Gauß map, shape operator; principal curvatures, Gaussian and mean curvature, surfaces 

of revolution; perhaps intrinsic geometry; 

modelling: Bernstein polynomials, Bézier curves and surfaces; de Casterjau algorithm 

Literatur 

Bär: Elementare Differentialgeometrie 

Montiel, Ros: Curves and surfaces 

Hoschek, Lasser: Grundlagen der Geometrischen Datenverarbeitung 

38

Differentialgeometrie 2 

Differential Geometry 2 



Administration: Grosse-Brauckmann 

Konzeption: Grosse-Brauckmann 


Bemerkungen: 






Voraussetzungen: Differentialgeoemtrie 1 



Die Studierenden sind in der Lage, den Unterschied zwischen innerer und äußerer Geometrie zu beurteilen. Sie können 

die in der Vorlesung Differentialgeometrie 1 eingeführten Begriffe und Konzepte auf globale Fragestellungen und 

Klassifikationssätze anwenden. 

Inhalt 

Innere Geometrie: Geodätische, Hyperflächengleichungen, theorema egregium Themen der globale Differentialgeometrie 

wie: Satz von Gauß-Bonnet, flache Flächen, oder Minimalflächen 

Contents 

Inner geometry: Geodesics, hypersurface equations, theorema egregium Topics of global differential geometry such as: 

Gauss-Bonnet theorem, flat surfaces, or minimal surfaces. 

Literatur 

39

Diskrete Mathematik 

Discrete Mathematics 




Konzeption: Joswig 


Bemerkungen: 






Voraussetzungen: Algorithmische diskrete Mathematik 



Nachdem Studierende das Modul besucht haben, können sie 

o diskrete Strukturen mit weitreichenden Bezügen zu anderen Teilgebieten der Mathematik der Mathematik erkennen, 

o allgemeine Grundlagen für algorithmische Konzepte besser verstehen, 

o verschiedene Zählkonzepte anwenden. 

Inhalt 

Partiell geordnete Mengen: Verbände, Möbiusfunktion, abstrakte Simplizialkomplexe Permutationsgruppen: Operationen 

von Gruppen auf (endlichen) Mengen und Graphen, Cayleygraphen, projektive Ebenen Erzeugende Funktionen: Lösung 

von Rekursionen, hypergeometrische Reihen Weitere Themen (in Auswahl): Triangulierungen konvexer Polygone; reguläre 

Parkettierungen der Ebene; Graphenfärbung; Polyasche Methoden zur Abzählung; Darstellungen der symmetrischen 

Gruppe 

Contents 

Partially ordered sets: lattices, Möbius function, abstract simplicial complexes Permutation groups: group actions on 

(finite) sets and graphs, Cayley graphs projective planes Generating functions: solving recursions, hypergeometric series 

Other topics (selection): triangulations of convex polygons; regular tilings of the plane; graph coloring; Polya’s method 

of counting; representations of the symmetric group 

Literatur 


M. Aschbacher, Finite Group Theory, Cambridge, 1986. 

N. Biggs, Algebraic Graph Theory, Second Edition, Cambridge, 1993. 


1994. 

W. Koepf, Hypergeometric Summation. An Algorithmic Approach to Summation and Special Function Identities, AMS, 

1998. 


R.P. Stanley, Enumerative Combinatorics, Volume I, Cambridge 1997. 

40

Distributionen und Harmonische Analysis 

Distributions and Harmonic Analysis 



Administration: Saal 

Konzeption: Saal, Hieber 


Bemerkungen: 






Voraussetzungen: Analysis 1-4 

Leistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistungen als Zulassungsvoraussetzung zur Modulprüfunge 


Nach der Absolvierung des Moduls können Studierende mit Distributionen und Sobolevräumen umgehen. Sie verstehen 

Distributionen, Sobolevräume und die Gründzüge der Harmonischen Analysis. 

Inhalt 

Distributionenklasse, Fourier transformation, fundamental solutions, Sobolev spaces, integral operators 

Contents 

Classes of distributions, Fourier transformation, fundamental solutions, Sobolev spaces, integral operators 

Literatur 

W. Rudin, Reelle und komplexe Analysis, Oldenbourg Verlag 1999. 

W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw Hill, 3. Auflage 1987. 

L. Schwartz, Théorie des Distributions, Hermann, Paris, 1966. 

W. Walter, Distributionen 

L. Evans, Partial Differential Equations 

41

Distributionentheorie 

Distributionentheorie 




Konzeption: Saal 


Bemerkungen: 






Voraussetzungen: Analysis, Funktionentheorie, Maßtheorie 




- kennen sie die Begriffe topologischer Vektorraum und lokalkonvexer Raum 

- können sie mit Distributionen bzw. verallgemeinerten Funktionen rechnen und umgehen 

- können sie mit Fouriertransformation und temperierten Distributionen umgehen 

Inhalt 

Topologische Vektorräume, Distributionenklassen, Fouriertransformation, Fundamentallösung 

Contents 

topological vector spaces, classes of distributions, Fourier transformation, fundamental solution 

Literatur 



J. Horváth, Topological Vector Spaces and Distributions, volume I, Addison- Wesley, Reading, Mass., 1966. 

L. Schwartz, Théorie des Distributions, Hermann, Paris, 1966. 

F. Treves, Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Academic Press, New York, 1967. 

42

Einführung in die axiomatische Mengenlehre 

Introduction to Axiomatic Set Theory 




Konzeption: Streicher 


Bemerkungen: 






Voraussetzungen: allg. mathematisches Grundwissen 



Die Studierenden beherrschen die Sprache und die Methoden der axiomatischen Mengenlehre. Sie beherrschen die Methode 

der transfiniten Induktion und Rekursion und können einfache Kardinalitätsabschätzungen durchführen. Außerdem 

können Sie erkennen, für welche Argumente das Auswahlaxiom nötig ist. 

Inhalt 

Es werden die Axiome von ZFC (Zermelo-Fraenkel with Choice) vorgestellt und es wird erläutert, inwiefern in diesem 

Rahmen die übliche Mathematik formuliert und formalisiert werden kann. Es werden Ordinal- und Kardinalzahlen präzise 

eingeführt und die Grundtatsachen ihrer Arithmetik bewiesen. Außerdem diskutieren wir das Auswahlaxiom und beweisen 

einige dazu äquivalente Prinzipien wie z.B. das Zornsche Lemma und den Wohlordnungssatz. 

Contents 

We introduce the language and the axioms of ZFC (Zermelo-Fraenkel with Choice) and we explain how this system 

allows one to formulate and formalize mathematics as it is known today. We introduce the notions of ordinal and 

cardinal numbers and prove some basic facts about their arithmetics. Furthermore we discuss the Axiom of Choice and 

prove some of its equivalents like Zorn’s lemma and the Well Ordering Theorem. 

Literatur 

Es wird zur Vorlesung ein Skript online zur Verfügung gestellt. Als ergänzende Literatur kann man das Buch von Y. 

Moschovakis Notes on Set Theory (Springer 2006) empfehlen. 

43

Einführung in die Finanzmathematik 

Introduction to Mathematical Finance 



Administration: Kohler 

Konzeption: Kohler,Betz 


Bemerkungen: 



Turnus: in der Regel jährlich im SS 



Voraussetzungen: Modul Einführung in die Stochastik, Probability Theory 




- die wichtigsten Grundideen und zentralen Ergebnisse der Finanzmathematik im Rahmen einfacher Modelle beschreiben, 

- einige Verfahren der Optionsbewertung im Rahmen einfacher Modelle mathematisch analysieren und die dabei erlernten 

Beweistechniken auf verwandte Fragestellungen übertragen. 

Inhalt 

Stochastische Finanzmarktmodelle in diskreter Zeit; Modellierung von Aktienmärkten; Handelsstrategien und Arbitrage; 

Äquivalente risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsmaße; Bewertung und Hedging von Derivaten; Spezielle Derivate (europ. 

Optionen, amerikanische Optionen, Futures); Ausblick auf Finanzmarktmodelle in stetiger Zeit, insbesondere Black- 

Scholes-Modell 

Contents 

stochastic models of financial markets in discrete time, (model of period n), derivatives (options and futures), trading 

strategies and arbitrage, equivalent risk-neutral probability measures, securing and valuation of options, the Black-Scholes 

formula 

Literatur 

Bingham, Kiesel: Risk-Neutral Valuation; 

Elliott, Kopp: Mathematics of Financial Markets; 

Irle: Finanzmathematik; 

Musiela, Rutkowski: Martingale Methods in Financial Modelling; 

Pliska: Introduction to Mathematical Finance; 

Shreve: Stochastic Calculus for Finance I (Discrete Time Models) 

44

Einführung in die Mathematische Modellierung 

Introduction to Mathematical Modelling 



Administration: Kiehl 

Konzeption: Kiehl 


Bemerkungen: 









Die Studierenden können grundlegende Techniken der mathematischen Modellierung wiedergeben, beschreiben und anwenden. 

Sie kennen für typische Anwendungsaufgaben einfache Lösungsmethoden für die entstehenden mathematischen 

Grundprobleme und können sie anwenden. 

Sie sollen in neuen Anwendungsgebieten mögliche mathematische Modellierungsansätze erkennen und übertragen und 

Ergebnisse interpretieren können. 

Inhalt 

Grundlagen, statische lineare, nicht-lineare und diskrete Systeme, dynamische Systeme in ein und mehreren Dimensionen, 

Systeme mit Gegner, Zufall. 

Contents 

basic concepts, statical linear, non-linear and discrete systems, dynamical systems in one and more dimensions, systems 

with opponent, random. 

Literatur 

Skript 

45

Einführung in die Optimierung 

Introduction to Optimization 



Administration: Ulbrich 

Konzeption: Ulbrich, Joswig 








Voraussetzungen: Module: Analysis und Lineare Algebra 




- beherrschen sie die Optimalitäts- und Dualitätstheorie der Linearen Optimierung und können sie anwenden 

- sind sie mit den Grundlagen der Polyedertheorie und der Theorie konvexer Funktionen vertraut 

- kennen sie die grundlegenden numerischen Lösungsverfahren für lineare und quadratische Optimierungsprobleme 

- können sie lineare und quadratische Optimierungsprobleme bei praktischen Problemstellungen modellieren und lösen. 

Inhalt 

konvexe Mengen und Funktionen; Einführung in die Polyedertheorie; Optimalitäts-und Dualitätstheorie der Linearen 

Optimierung; Simplex-Verfahren zur Lösung linearer Optimierungsprobleme; polynomiale Komplexität der Linearen Optimierung; 

Verfahren für quadratische Optimierungsprobleme. 

Contents 

convex sets and functions; introduction to the theory of polyhedra; theory of optimality and duality in linear optimization; 

simplex method for the solution of linear optimization problems; polynomial complexity of linear optimization; procedure 

for problems of quadratic optimization 

Literatur 

Chvatal: Linear Programming 

Geiger; Kanzow: Theorie und Numerik restringierter Optimierungsaufgaben; 

Jarre, Stoer: Optimierung 

Nocedal; Wright: Numerical Optimization; 

Schrijver: Theory of Linear and Integer Programming; 

Ziegler: Lectures on Polytopes 

46

Elementare Zahlentheorie 

Elementary Number Theory 



Administration: Krabs 

Konzeption: Krabs 


Bemerkungen: 






Voraussetzungen: Allgemeines mathematisches Grundwissen 



Einführung in die elementare Zahlentheorie und Behandlung einiger klassischer Probleme. 

Inhalt 

Darstellung natürlicher Zahlen, Primfaktorzerlegung von Zahlen, vollkommene Zahlen, Kongruenzen und Mersennesche 

Primzahlen, Primzahlen, Pythagoräische Tripel, Fermatsches Problem, ägyptische Brüche und zwei Vermutungen von 

Erdös und Sierpinski. 

Contents 

Representation of natural numbers, prime number factorization of numbers, perfect numbers, congruences and Mersenne 

prime numbers, prime numbers, Pythagorean tripels, Fermat’s problem, egyptian fractirms and two conjectures of Erdös 

and Sierpinski. 

Literatur 

A. Beck, M. N. Bleicher, D. W. Crowe: Excursions into Mathematics. Worth Publishers, Inc. 1969. 

B. M. Steward: Theory of Numbers 2nd ed. The Macmillan Company, New York 1964 

47






Bemerkungen: 


Dauer: 4 Wochen, 150 Stunden 

Turnus: Nach Vereinbarung 

Externes Praktikum 

External Practical 

Lehrformen: P 


Voraussetzungen: Pflichtmodule des 1. und 2. Studienjahres 

In der Regel werden Praktikumsplätze auf Eigeninitiative der Studierenden gefunden. Damit ein Praktikum anerkannt 

werden kann, muß es sich hinreichend für den Studiengang eignen. Bei nur teilweise Eignung, muß die Dauer 

entsprechend länger sein. Die Eignung des Praktikums muss von einem Dozenten des Fachbereichs Mathematik 

anerkannt werden, der dann auch den Schein ausstellt. 

Leistungsnachweise: Studienleistung: Bericht und Vortrag bei mitbetreuendem Dozenten des Fachbereichs. 


Die Studierenden sammeln Erfahrung in für Mathematiker/Mathematikerinnen realistischer Arbeitsumgebung. 

Sie können sich in ein Team einfügen. 

Sie haben ein Bild von einem möglichen zukünftigen Arbeitsfeld und können darüber berichten. 

Inhalt 

Praktikumstätigkeit außerhalb der Universität bei einem Unternehmen oder einer Institution. 

Contents 

volunteering or internship in a company or a extra-academic institution in a location reflecting the potential future work 

environment of a mathematics student. 

Literatur 

48

Funktionalanalysis 

Functional Analysis 




Konzeption: Farwig, Hieber, Haller-Dintelmann, Bruinier, Kümmerer 








Voraussetzungen: Analysis, Integrationstheorie, Funktionentheorie, Lineare Algebra oder vergleichbare Vorkenntnisse 

aus einem Zyklus Mathematik für Ing. 




- Ideen der linearen Algebra, Analysis und Topologie zusammenfügen 

- das Zusammenspiel von Raum und Dualraum bestimmen und in Anwendungen exemplarisch ermitteln 

- funktionalanalytische Methoden im Kontext partieller Differentialgleichungen erklären 

Inhalt 

normierte Räume; Vervollständigung; Satz von Hahn-Banch; Sätze von Banach-Steinhaus, der offenen Abbildung, vom 

abgeschlossenen Graphen; Hilberträume; reflexive Räume; schwache Konvergenz; Sobolev-Räume; schwache Lösung des 

Dirichletproblems; Spektraleigenschaften linearer Operatoren; kompakte Operatoren auf Banachräumen; Spektralsatz für 

kompakte Operatoren. 

Contents 

Normed vector spaces, completion; Theorem of Hahn-Banach, Theorem of Banach-Steinhaus, Open Mapping Theorem, 

Closed Graph Theorem; Hilbert spaces; reflexive spaces, weak convergence; Sobolev spaces, weak solution of the Dirichlet 

problem; spectral properties of linear operators; compact operators on Banach spaces, spectral theorem for compact 

operators. 

Literatur 

Alt: Lineare Funktionalanalysis; 

Conway: A Course in Functional Analysis; 

Heuser: Funktionalanalysis; 

Reed, Simon: Functional Analysis: Methods of Modern Mathematical Physics I; 

Rudin: Functional Analysis; 

Werner: Funktionalanalysis; 

49






Konzeption: Kümmerer, Scheithauer, Farwig, Hieber, Bruinier, Große-Brauckmann 


Bemerkungen: 






Voraussetzungen: Complex Analysis 



Nach dem Besuch des Moduls können die Studierenden funktionentheoretische Methoden auf geometrische und algebraische 

Probleme anwenden. 

Inhalt 

Konforme Abbildungen, Möbiustransformationen und Riemannscher Abbildungssatz 

Partialbruch- und Produktentwicklungen, Gamma-Funktion 

Elliptische Funktionen und Kurven 

Contents 

Conformal maps, Möbius transformations and Riemann mapping theorem 

Partial fractions and product expansions, Gamma function 

Elliptic functions and curves 

Literatur 

Freitag, Busam: Funktionentheorie 1 

Conway: Functions of one complex variable I+II 

50

Game Theory 

Spieltheorie 




Konzeption: Krabs, Ziegler 


Bemerkungen: 






Voraussetzungen: Allgemeines mathematisches Grundwissen aus den 1,2,3 Fachsemestern 



Students become aware of different areas in game theory, of its practical purposes, and of its current limits. They will 

be able to discuss technical notions in terms of examples, derive classical results in non-cooperative game theory, and 

exemplify the limitations of these results. They will also be able to evaluate game-theoretic results as modelling tools. 

Inhalt 

Non-cooperative and cooperative game theory (e.g. coalitions). Sequential and strategic games. Fixed point theorems 

(e.g. Brouwer). Various concepts of solution of a game (e.g. Nash equilibrium). Theorems of existence of solution (e.g. 

minimax theorem). Impossibility theorems (e.g. Arrow paradox for voting systems). 

Contents 

Non-cooperative and cooperative game theory (e.g. coalitions). Sequential and strategic games. Fixed point theorems 

(e.g. Brouwer). Various concepts of solution of a game (e.g. Nash equilibrium). Theorems of existence of solution (e.g. 

minimax theorem). Impossibility theorems (e.g. Arrow paradox for voting systems). 

Literatur 

Osborne, Martin J. (2004), An introduction to game theory 

51

Introduction to descriptive set theory 

Einführung in die deskriptive Mengenlehre 



Administration: Gregoriades 

Konzeption: Gregoriades 


Bemerkungen: 






Voraussetzungen: Analysis I und Analysis II. Wünschenswert sind Grundkenntnisse in der Topologie. 



Die Studierenden können Teilmengen polnischer Räume bzgl. der arithmetischen und der analytischen Hierarchie klassifizieren. 

Zu diesem Zweck müssen die Studierenden zentrale Sätze wie z.B. den Satz über perfekte Mengen und 

das Theorem von Suslin anwenden können. Außerdem sollen sie diese Resultate auf Fragestellungen aus der Analysis, 

Funktionalanalysis und Kombinatorik anwenden können. 

Inhalt 

Polnische Räume; Hierarchien Borelscher Mengen, projektiver Mengen und strukturelle Eigenschaften davon; Satz über 

die perfekte Menge und Theorem von Suslin; Verbindung mit anderen Bereichen der Mathematik wie z.B. Analysis, 

Funktionalanalysis und Kombinatorik unendlicher Mengen. 

Contents 

Polish spaces; Hierarchies of Borel sets, projective sets and structural Properties of these; Perfect Set Theorem and 

Suslin Theorem; Connections with other areas of mathematics such as Real Analysis, Functional Analysis and Infinite 

Combinatorics. 

Literatur 

Kechris, A. S.: Classical Descriptive Set Theory, 

Moschovakis, Y. N.: Descriptive Set Theory, 

Moschovakis, Y. N.: Notes on Set Theory 

52

Introduction to Mathematical Logic 

Einführung in die Mathematische Logik 




Konzeption: Kohlenbach, Otto, Streicher 





Turnus: mindestens alle 2 Jahre 



Voraussetzungen: solide allgemeine mathematische Vorbildung 



Die Studierenden beherrschen die grundlegenden Konzepte und Methoden der mathematischen Logik und können diese im 

Zusammenhang mit den klassischen Sätzen über die Logik erster Stufe und im Umgang mit einem formalen Beweisbegriff 

anwenden. In diesem Rahmen erfassen sie die Tragweite der Logik erster Stufe für die Grundlagen der Mathematik und 

können anhand einschlägiger Sätze die prinzipiellen Grenzen diskutieren. 

Inhalt 

Syntax und Semantik der Logik erster Stufe; formale Beweise in einem Kalkül; Vollständigkeit; Kompaktheitssatz; logischmengentheoretische 

Grundlagen der Mathematik; elementare Rekursionstheorie; Unentscheidbarkeit und Unvollständigkeit. 

Contents 

Syntax and semantics of first order logic; formal proofs in a calculus; completeness; compactness theorem; the logical 

and set-theoretical foundations of mathematics; elementary recursion theory; undecidability and incompleteness. 

Literatur 

exemplarisch, neben vielen anderen Lehrbüchern: 

Ebbinghaus, Flum, Thomas: Einführung in die mathematische Logik; 

Shoenfield: Mathematical Logic; 

Cori, Lascar: Mathematical Logic; 

Poizat: A Course in Model Theory, an Introduction to Contemporary linebreak Mathematical Logic 

53

Introduction to Optimization 

Einführung in die Optimierung 




Konzeption: Ulbrich, Joswig 








Voraussetzungen: Module: Analysis und Lineare Algebra 




- beherrschen sie die Optimalitäts- und Dualitätstheorie der Linearen Optimierung und können sie anwenden 

- sind sie mit den Grundlagen der Polyedertheorie und der Theorie konvexer Funktionen vertraut 

- kennen sie die grundlegenden numerischen Lösungsverfahren für lineare und quadratische Optimierungsprobleme 

- können sie lineare und quadratische Optimierungsprobleme bei praktischen Problemstellungen modellieren und lösen. 

Inhalt 

konvexe Mengen und Funktionen; Einführung in die Polyedertheorie; Optimalitäts-und Dualitätstheorie der Linearen 

Optimierung; Simplex-Verfahren zur Lösung linearer Optimierungsprobleme; polynomiale Komplexität der Linearen Optimierung; 

Verfahren für quadratische Optimierungsprobleme. 

Contents 

convex sets and functions; introduction to the theory of polyhedra; theory of optimality and duality in linear optimization; 

simplex method for the solution of linear optimization problems; polynomial complexity of linear optimization; procedure 

for problems of quadratic optimization 

Literatur 

Chvatal: Linear Programming 

Geiger; Kanzow: Theorie und Numerik restringierter Optimierungsaufgaben; 

Jarre, Stoer: Optimierung 

Nocedal; Wright: Numerical Optimization; 

Schrijver: Theory of Linear and Integer Programming; 

Ziegler: Lectures on Polytopes 

54

Komplexitätstheorie 

Complexity Theory 




Konzeption: Lorenz, Otto, Ziegler 


Bemerkungen: 






Voraussetzungen: ein Proseminar aus der Logik und Logik und Grundlagen oder Formale Grundlagen der Informatik 

oder Einführung in die mathematische Logik 



Nachdem Studierende diese Veranstaltung besucht haben, koennen sie die grundlegenden Anliegen und Methoden der klassischen 

Komplexitätstheorie wiedergeben. Sie erkennen die Bedeutung und die Unterschiede des asymptotischen Ressourcenbedarfs „Zeit“ 

und „Speicher“ von einem Algorithmus und von einem Problem. Sie können die wesentlichen Komplexitätsklassen erklären und 

bewerten; sowie vergleichen, d.h. Beziehungen zwischen ihnen beweisen, und Beispielprobleme in sie einordnen. 

Inhalt 

Rechenmodelle und Ressourcen, polynomielles Wachstum; Entscheidungsprobleme SAT, 3SAT, Independent Set, Clique und 

Beziehungen zwischen ihnen; Komplexitätsklasse NP und Satz von Cook-Levin; weitere NP-vollständige Probleme; Approximationsalgorithmen 

und Güte, Nichtapproximierbarkeit; PSPACE und Vollständigkeit; Satz von Savitch; Satz von Immerman- 

Szelepcsényi; L, NL und Erreichbarkeit; parallele Komplexität und Schaltkreise, P-Vollständigkeit; Kryptographie und UP; 

randomisierte Komplexität; polynomielle Hierarchie 

Contents 

Models of computation and polynomially bounded resources; decision problems SAT, 3SAT, Independent Set, Clique, and relations 

among them; complexity class NP and Cook-Levin Theorem; further NP-complete problems; approximation algorithms and nonapproximability; 

PSPACE-completeness; Savitch’s Theorem; Immerman-Szelepcsényi Theorem; L, NL and graph reachability; 

parallel complexity and circuits, P-completeness; cryptographic one-way functions and UP; randomized complexity; polynomial 

hierarchy 

Literatur 

Uwe Schöning: Theoretische Informatik kurzgefasst; 

Garey/Johnson: Computers and Intractability 

Papadimitriou: Computational Complexity 

55

Manifolds 

Mannigfaltigkeiten 




Konzeption: Scheithauer, Bruinier, Große-Brauckmann 








Voraussetzungen: Lineare Algebra, Analysis, Integrationstheorie, Gewöhnliche Differentialgleichungen 



Studierende lernen, Analysis koordinaten-invariant zu verstehen und mit passendem Kalkül zu beschreiben. Sie können 

darstellen, warum und in welchem Kontext der Begriff der Mannigfaltigkeit natürlich ist. Sie erkennen, auf welche Weise 

sich der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung auf beliebige Dimension verallgemeinert. 

Inhalt 

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten, Untermannigfaltigkeiten, Tangentialbündel, Einbettung, Whitneys Einbettungssatz, 

Vektorfelder, Kommutator, lokaler Fluss, Satz von Frobenius; Differentialformen, Satz von Stokes. 

Contents 

Differentiable manifolds, submanifolds, tangent bundle, embeddings, Whitney embedding theorem, vector fields, commutator, 

local flow , Frobenius theorem; differential forms, Stokes’ theorem. 

Literatur 

Lee: Introduction to smooth Manifolds 

Warner: Foundations of differentiable manifolds and Lie groups 

Boothby: An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry 

56

Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik 

Mathematical foundations of quantum mechanics 



Administration: Kümmerer 

Konzeption: Kümmerer 


Bemerkungen: 






Voraussetzungen: Die Vorlesungen der ersten beiden Studienjahre des entsprechenden Studienganges. 




das mathematische Modell der Quantenmechanik erläutern und interpretieren, 

physikalische Annahmen von ihren mathematischen Konsequenzen unterscheiden, 

die Angemessenheit mathematischer Methoden in der Behandlung quantenmechanischer Probleme bewerten, 

die fundamentalen Unterschiede zwischen klassischer Physik und Quantenmechanik erläutern. 

Inhalt 

Die Vorlesung wendet sich an Studierende der Physik und der Mathematik. Für Studierende der Physik erhält die 

Quantenmechanik in dieser Vorlesung ein mathematisches Fundament, Studierenden der Mathematik bietet die Vorlesung 

einen mathematisch orientierten Schritt in die Quantenmechanik, der freilich die Diskussion der zugrunde liegenden 

physikalischen Prinzipien und Beispiele nicht ersetzen kann und will. Folgende Themen werden behandelt: 

Klassische Physik versus Quantenmechanik, Bellsche Ungleichungen. 

Die Axiome der Quantenmechanik und ihre Folgerungen. 

Observable und selbstadjungierte Operatoren. 

Satz von Stone und zeitabhängige Schrödingergleichung. 

Dichtematrizen. 

Zusammengesetzte Systeme und Tensorprodukte. 

Verschränkte Zustände und Quanteninformation. 

Contents 

Classical physics versus quantum mechanics, Bell’s inequality. 

The axioms of quantum mechanics and their consequences. 

Observables and self-adjoint operators. 

Stone’s Theorem and time dependent Schrödinger Equation. 

Composed systems and tensor products. 

Entangled states and quantum information. 

Literatur 

J. v. Neumann: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik 

M. Reed, B. Simon: Methods of Modern Physics I. 

G.W. Mackey: Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. 

M. Nielsen, I. Chuang: Quantum Computation and Quantum Information. 

57

Mathematisches Seminar (alg), Bachelor 

Seminar in Mathematics (alg), Bachelor 

Modulnummer: 04-10-0139/de (Bausteine: 04-10-0350-se) 



Konzeption: Kiehl, Scheithauer, Bruinier, Kümmerer 


Bemerkungen: 


Dauer: 1 Semester oder als Blockveranstaltung 

Turnus: in der Regel jedes Semester 

Lehrformen: 2S 


Voraussetzungen: Wahlveranstaltung nach Angabe 

Leistungsnachweise: Vortrag, Beteiligung an der Diskussion, evtl. schriftliche Ausarbeitung 


Die Studierenden können ein anspruchsvolles mathematisches Thema verständlich schriftlich und mündlich präsentieren. 

Sie sollen sich selbständig anspruchsvolle mathematische Sachverhalte erarbeiten und eine faire Diskussion über Inhalte 

und Darstellung des Vortrages, führen können. 

Inhalt 

Themenabhängig 

Contents 

Depending on topic 

Literatur 

Wird je nach Thema angegeben. 

Zusätzlich: Manfred Lehn: Wie halte ich einen Seminarvortrag? 

http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag 

58

Mathematisches Seminar (ana), Bachelor 

Seminar in Mathematics (ana), Bachelor 




Konzeption: Kiehl, Haller-Dintelmann 


Bemerkungen: 












Inhalt 


Contents 


Literatur 




59

Mathematisches Seminar (geo), Bachelor 

Seminar in Mathematics (geo), Bachelor 




Konzeption: Kiehl, Reif 


Bemerkungen: 












Inhalt 


Contents 


Literatur 




60

Mathematisches Seminar (log), Bachelor 

Seminar in Mathematics (log), Bachelor 




Konzeption: Kiehl, Kohlenbach, Otto 


Bemerkungen: 












Inhalt 


Contents 


Literatur 




61

Mathematisches Seminar (num), Bachelor 

Seminar in Mathematics (num), Bachelor 






Bemerkungen: 












Inhalt 


Contents 


Literatur 




62

Mathematisches Seminar (opt), Bachelor 

Seminar in Mathematics (opt), Bachelor 






Bemerkungen: 












Inhalt 


Contents 


Literatur 




63

Mathematisches Seminar (sto), Bachelor 

Seminar in Mathematics (sto), Bachelor 






Bemerkungen: 












Inhalt 


Contents 


Literatur 




64

Mathematisches Vortragsprotokoll (doppelt) 

Summarizing a Mathematical Lecture (double) 

Modulnummer: 04-10-0253/de (Bausteine: 04-00-0262-pj) 



Konzeption: Kiehl, Kümmerer 


Bemerkungen: 


Dauer: 60 Stunden 

Turnus: auf Nachfrage 

Lehrformen: Betreuung durch Dozenten 


Voraussetzungen: Arbeitstechniken in der Mathematik 

Leistungsnachweise: schriftliche Ausarbeitung. Alternativ auch durch ein Projekt oder im Rahmen eines Masterseminars 


Die Studierenden können aus einem anspruchsvollen mathematischen Fachvortrag die wesentlichen Verständnisschwierigkeiten 

identifizieren, aufklären und einen Fachvortrag in eigenen Worten formulieren und schriftlich gut verständlich 

kommunizieren 

Inhalt 

Je nach Thema 

Contents 

depending on topic 

Literatur 

65

Mathematisches Vortragsprotokoll (einfach) 

Summarizing a Mathematical Lecture (single) 

Modulnummer: 04-10-0252/de (Bausteine: 04-00-0261-pj) 





Bemerkungen: 











kommunizieren 

Inhalt 

Je nach Thema 

Contents 


Literatur 

66

Numerik Gewöhnlicher Differentialgleichungen 

Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations 









Turnus: in der Regel jedes WS 



Voraussetzungen: Analysis, Lineare Algebra, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Einführung in die Numerik oder 

vergleichbare Kenntnisse etwa aus einem Zyklus Mathematik für Ing. 



Die Studierenden können verschiedene numerische Lösungsverfahren und Konstruktionsprinzipien beschreiben, klassifizieren, 

erklären und anwenden. 

Sie sollen die Methoden und Prinzipien vergleichen, modifizieren und kombinieren können. 

Inhalt 

Anfangswertprobleme: Einschrittverfahren, Mehrschrittverfahren; Randwertprobleme: Finite-Differenzen-Verfahren; Finite- 

Elemente-Methode;Ausblick auf partielle Differentialgleichungen. 

Contents 

initial value problems: one-step methods, multi-step methods; boundary-value problems: finite differences methods, finite 

elements methods: outlook to partial differential equations. 

Literatur 

Deuflhard, Bornemann: Numerische Mathematik 2 

Stoer, Bulirsch: Numerische Mathematik 2 

67

Numerische Lineare Algebra 

Numerical Linear Algebra 






Bemerkungen: 






Voraussetzungen: Lineare Algebra, Einführung in die Numerik oder vergleichbare Vorkenntnisse 



Die Studierenden können die wichtigsten numerischen Verfahren der linearen Algebra beschreiben, klassifizieren, erklären 

und anwenden. und vergleichen. 

Sie sollen die Methoden vergleichen, modifizieren und kombinieren können. 

Inhalt 

Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme, Singulärwertzerlegung, Eigenwertprobleme. 

Contents 

Systems of linear equations: iterative methods, singular value decomposition, eigenvalue problems. 

Literatur 

Trefethen/Bau: Numerical Linear Algebra, SIAM 

Demmel: Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, 

Stoer/Bulirsch: Numerische Mathematik 2, Springer 

68

Optimierung in Wirtschaft und Industrie 

Optimization in Industry 




Konzeption: Hofmeister 


Bemerkungen: 




Lehrformen: Blockveranstaltung 


Voraussetzungen: Mindestens Kenntnisse der Linearen Programmierung; Programmierkenntnisse möglichst in C++ 

Leistungsnachweise: mündliche oder schriftliche Prüfung (wird zu Beginn der Veranstaltung spezifiziert) 

Prüfungsvorleistung: i.d.R. erfolgreiche Teilnahme an den Übungen 



- können sie praktische Problemstellungen auf der Basis von linearer und ganzzahliger Optimierung mathematisch modellieren 

- kennen sie Lösungsverfahren für solche Probleme (Branch and Bound, Schnittebenen, Spaltengenerierung, Heuristiken) 

- verstehen sie die besondere Bedeutung von Dualitätsaspekten in Spieltheorie, Netzwerktheorie und Linearer Programmierung 

Inhalt 

mathematische Modellbildung; Einführung in die Theorie von 2-Personen- Spielen; Prinzip der Dualität und seine Anwendungen; 

lösen Linearer Programme mit sehr vielen Variablen; lösen ganzzahlig linearer Programme; statische und 

dynamische Netzwerkprobleme. 

Contents 

mathematical modelling; introduction to the theory of two-person games; principle of duality and its applications; solving 

linear programming problems with many variables; solving integer valued linear programming problems; statical and 

dynamical networking problems 

Literatur 

Nemhauser, Wolsey: Integer and Combinatorial Optimization 

Ahuja, Magnanti, Orlin: Network Flows: Theory, Algorithms, and Application 

69

Probability Theory 

Wahrscheinlichkeitstheorie 



Administration: Betz 

Konzeption: Betz, Kümmerer, Kohler 








Voraussetzungen: Module: Analysis, Integration, Einführung in die Stochastik 




- die grundlegenden Konzepte und Konstruktionen der Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie beschreiben und an einfachen 

Modellen anwenden, 

- die zentralen Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre Konsequenzen beschreiben und in einfachen Modellen 

anwenden, 

- zufällige Phänomene mathematisch modellieren und analysieren. 

Inhalt 

Maßtheoretische Grundlagen, Integrationstheorie, Zufallsgrößen, Konvergenzbegriffe, charakteristische Funktionen, Unabhängigkeit, 

0-1-Gesetze, bedingte Erwartungen, zeitdiskrete Martingale, Grenzwertsätze (Gesetze der großen Zahlen, 

Zentraler Grenzwertsatz) 

Contents 

Measure theoretical foundations, theory of integration, random variables, concepts of convergence, characteristic functions, 

stochastic independence, 0-1-laws, conditional expectations, martingales in discrete time, limit theorems: law of 

large numbers, central limit theorem. 

Literatur 

Bauer: Probability Theory 

Billingsley: Probability and Measure 

Elstrodt: Maß-und Integrationstheorie 

Gänssler, Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie 

Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie 

70






Bemerkungen: 




Projekt in Mathematik (Bachelor) 

Project in Mathematics (Bachelor) 



Voraussetzungen: nach Angabe 

Leistungsnachweise: Präsentation der Projektergebnisse in einem Vortrag, schriftliche Ausarbeitung 


Die Studierenden können für eine konkrete Problemstellung Lösungsstrategien entwickeln und umsetzen. Sie können 

eine umfangreiche Aufgabe in Teilschritte gliedern, Zwischenzielen formulieren, sinnvolle Teilaufgaben definieren, und 

geeignet präsentieren. Je nach Thema können sie auch experimentell arbeiten und Software anwenden. 

Inhalt 

Eine komplexe Problemstellung wird durch kleine Gruppen bearbeitet. Das Thema darf offen formuliert sein und erst während 

der Bearbeitung präzisiert oder fokussiert werden. Die fachlichen Inhalte sind themenabhängig. Über den Fortgang 

der Projektbearbeitung wird regelmäßig berichtet. Den Abschluss bildet eine Projektpräsentation, in der die Ergebnisse 

vorgestellt und diskutiert werden. Gegebenenfalls werden die Ergebnisse schriftlich ausgearbeitet; dabei soll ein 

wissenschaftliches Schreibsystem wie LaTeX angewendet werden. 

Contents 

A small group works on a complex problem. The formulation of the problem may be open ended; a final precise and 

focussed fomulation may be a part of the project. The concrete subject matter content will depend on the problem. 

Regular reports describe the work in progress. In conclusion, there will be a presentation in which the results are described 

and discussed. A report in writing, preferably in LATEX, will record and document the results of the project. 

Literatur 

je nach Thema 

71

Reelle Analysis 

Real Analysis 




Konzeption: Saal 


Bemerkungen: 






Voraussetzungen: Analysis 

Leistungsnachweise: schriftlich oder mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur Modulprüfung 



- kennen sie Grundlagen über Distributionen 

- kennen sie schwache Lebesgue-Räume sowie den Interpolationsatz von Marcinkiewicz 

- können sie mit singulären Integralen und singulären Integraloperatoren umgehen 

Inhalt 

Reelle Funktionen, Kompaktheit, singuläre Integraloperatoren, Distributionen, Ungleichungen, Interpolation, Fouriertransformation, 

Multiplikatoren 

Contents 

Real functions, compactness, singular integral operators, distributions, inequalities, interpolation, Fourier transformation, 

multipliers 

Literatur 



M. Giga, Y. Giga, J. Saal, Nonlinear Partial Differential Equations - Asymptotic Behavior of Solutions and Self-similar 

Solutions, Birkhäuser 2010 

72

Seitenkanalangriffe gegen IT-Systeme 

Side-Channel Attacks on IT Systems 



Administration: Schindler 

Konzeption: Schindler 


Bemerkungen: 






Voraussetzungen: (LA und Ana) oder vergleichbare Kenntnisse, Kenntnisse in Stochastik wünschenswert, Grundkenntnisse 

in Kryptographie hilfreich 



Nach dem Besuch dieses Moduls sind die Studierenden mit den behandelten Seitenkanalangriffen vertraut, haben die 

elementaren mathematischen Methoden durchdrungen und können diese auf verwandte Problemstellungen anwenden. Sie 

haben zumindest die Grundideen der fortgeschritteneren mathematischen Ansätze verstanden. Die Studierenden sollen 

alle mathematische Ansätze und Methoden beherrschen. 

Inhalt 

Mathematik: Modellierung von Seitenkanalinformationen durch stochastische Prozesse, Anwendungen der statistischen 

Entscheidungstheorie und der multivariaten Statistik (Ziele: optimale Verwertung der Seitenkanalinformation etc.), elementare 

Zahlentheorie. 

Kryptographie und IT-Sicherheit: Laufzeitangriffe, Cachebasierte Angriffe, Powerangriffe. 

Contents 

Mathematics: Modelling side-channel information in terms of stochastic processes, applications of statistical decision 

theory and multivariate statistics (goals: optimal exploitation of side-channel information etc.), elementary number 

theory. 

Cryptography and IT security: Timing Attacks, cache attacks, power attacks. 

Literatur 

H. Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 5. Auflage, de Gruyter, Berlin 2001. 

F.E. Beichelt, D.C. Montgomery: Teubner Taschenbuch der Stochastik - Wahrscheinlichkeitstheorie, Stochastische Prozesse, 

Mathematische Statistik. Teubner, Wiesbaden 2003. 

O.J.W.F. Kardaun: Classical Methods of Statistics. Springer, Berlin 2005. 

S. Mangard, E. Oswald, T. Popp: Power Analysis Attacks - Revealing the Secrets of Smart Cards. Springer, Berlin 2007. 

+ eine Vielzahl einschlägiger Aufsätze 

73

Seitenkanalangriffe und Fault Attacken gegen IT-Systeme 

Side-Channel Attacks and Fault Attacks on IT Systems 



Administration: Schindler 

Konzeption: Schindler 


Bemerkungen: 






Voraussetzungen: LA und Ana, Kenntnisse in Stochastik wünschenswert, Grundkenntnisse in Kryptographie hilfreich 



Mathematik: Anwendungen der Stochastik und der mathematischen Statistik in Kryptographie und IT-Sicherheit. Kryptographie 

und IT-Sicherheit: Vertrautheit mit Seitenkanalangriffen und Fault Attacken 

Inhalt 

Mathematik: Modellierung von Seitenkanalinformationen durch stochastische Prozesse, Anwendungen der statistischen 

Entscheidungstheorie und der multivariaten Statistik (Ziele: optimale Verwertung der Seitenkanalinformation etc.), 

elementare Zahlentheorie. Kryptographie und IT-Sicherheit: Fault Attacken, Laufzeitangriffe, Cachebasierte Angriffe, 

Powerangriffe. 

Contents 

Mathematics: Modelling side-channel information in terms of stochastic processes, applications of statistical decision 

theory and multivariate statistics (goals: optimal exploitation of side-channel information etc.), elementary number 

theory. Cryptography and IT security: Fault Attacks, timing Attacks, cache attacks, power attacks. 

Literatur 

H. Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 5. Auflage, de Gruyter, Berlin 2001. 

F.E. Beichelt, D.C. Montgomery: Teubner Taschenbuch der Stochastik - Wahrscheinlichkeitstheorie, Stochastische Prozesse, 

Mathematische Statistik. Teubner, Wiesbaden 2003. 

O.J.W.F. Kardaun: Classical Methods of Statistics. Springer, Berlin 2005. 

S. Mangard, E. Oswald, T. Popp: Power Analysis Attacks - Revealing the Secrets of Smart Cards. Springer, Berlin 2007. 

74

Seminar in Mathematics (alg), Bachelor 

Mathematisches Seminar (alg), Bachelor 

Modulnummer: 04-10-0139/en (Bausteine: 04-10-0351-se) 



Konzeption: Kiehl, Scheithauer, Bruinier, Kümmerer 


Bemerkungen: 












Inhalt 


Contents 


Literatur 



urlwww.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag 

75

Seminar in Mathematics (ana), Bachelor 

Mathematisches Seminar (ana), Bachelor 




Konzeption: Kiehl, Haller-Dintelmann 


Bemerkungen: 












Inhalt 


Contents 


Literatur 




76

Seminar in Mathematics (geo), Bachelor 

Mathematisches Seminar (geo), Bachelor 




Konzeption: Kiehl, Reif 


Bemerkungen: 












Inhalt 


Contents 


Literatur 




77

Seminar in Mathematics (log), Bachelor 

Mathematisches Seminar (log), Bachelor 




Konzeption: Kiehl, Kohlenbach, Otto 


Bemerkungen: 












Inhalt 


Contents 


Literatur 




78

Seminar in Mathematics (num), Bachelor 

Mathematisches Seminar (num), Bachelor 






Bemerkungen: 












Inhalt 


Contents 


Literatur 




79

Seminar in Mathematics (opt), Bachelor 

Mathematisches Seminar (opt), Bachelor 






Bemerkungen: 







Leistungsnachweise: Vortrag, Beteiligung an der Diskussion, evtl. schriftliche Ausarbeitun 





Inhalt 


Contents 


Literatur 




80

Seminar in Mathematics (sto), Bachelor 

Mathematisches Seminar (sto), Bachelor 






Bemerkungen: 












Inhalt 


Contents 


Literatur 




81

Spieltheorie 

Game theory 




Konzeption: Krabs, Ziegler 


Bemerkungen: 






Voraussetzungen: Allgemeines mathematisches Grundwissen aus den Fachsemestern 1-3 



Die Studenten verstehen grundlegende Konzepte der kooperativen oder nicht-kooperativen Spieltheorie. Sie modellieren 

einfache konkrete Situationen unter Verwendung präziser und abstrakter Begriffe. Sie wenden mathematische Theoreme 

an, um Spiele zu analysieren, und bewerten diese Vorhersagen für die Praxis 

Inhalt 

Nicht-kooperative Spiele: sequentielle und strategische Spiele, Fixpunktsätze (z.B. Brouwer), Lösungskonzepte (u.a. Nash 

Äquiulibrium), Existenz- und Unmöglichkeitssätze. 

Zwei-Personen-Nullsummen-Spiele, Zwei-Personen-Nicht-Nullsummen-Spiele, n-Personenspiele, Drei-Personen-Nullsummen- 

Spiele. 

Kooperative Spiele: Koalitionen, Lösungskonzepte: Stabile Mengen, Core, -Wert, konvexe Spiele, Anwendungen 

Contents 

Non-cooperative game theory: sequential and strategic games, various concepts of solution of a game (e.g. Nash equilibrium), 

fixed point theorems (e.g. Brouwer), existence theorems (e.g. minimax theorem for two-player zero-sum games) and 

impossibility theorems (e.g. Arrow paradox for voting systems). Cooperative game theory: coalitions, solution concepts, 

stable sets, core, -value, convex games, applications. 

Literatur 

W. Krabs: Spieltheorie: Dynamische Behandlung von Spielen. Verlag B.G. Teubner 2005 

Osborne, Martin J. (2004), An introduction to game theory 

82

Summarizing a Mathematical Lecture (double) 

Mathematisches Vortragsprotokoll (doppelt) 

Modulnummer: 04-10-0253/en (Bausteine: 04-00-0243-pj) 





Bemerkungen: 











kommunizieren 

Inhalt 

Je nach Thema 

Contents 


Literatur 

83

Summarizing a Mathematical Lecture (single) 

Mathematisches Vortragsprotokoll (einfach) 

Modulnummer: 04-10-0252/en (Bausteine: 04-00-0242-pj) 





Bemerkungen: 











kommunizieren 

Inhalt 

Je nach Thema 

Contents 


Literatur 

84

Synthetische Differentialgeometrie (englisch) 

Synthetic differential geometry (english) 




Konzeption: Streicher 


Bemerkungen: 






Voraussetzungen: Introduction to Mathematical Logic, Differentialgeometrie 



Nach dem Besuch des Moduls können die Studierenden: 

-kategorielle Limiten, Colimiten, Exponentiale und subobject classifiers verwenden, 

-innerhalb der konstruktiven Logik und ihren kategorischen Modellen argumentieren und 

-mit Differentialobjekten und davon abgeleiteten Begriffen in der synthetischen Differentialgeometrie arbeiten 

Inhalt 

nilpotente Differentiale, Kategorientheorie, kategorielle Limiten und Colimiten, Exponentiale, Topoi, konstruktive Logik, 

Mikrolinearität, synthetische Tangentialbündel, Vektorfelder, Integration, Differentialformen 

Contents 

nilpotent differentials, category theory, categorisl limits and colimits, exponentials, topoi, constructive logic, microlinearity, 

synthetic tangent bundles, vector fields integration, differential forms 

Literatur 

A.Kock: Synthetic differential geometry (second edition). Cambridge University Press, 2006 

S.Awodey: Category theory. Clarendon Press, 2006 

P.T.Johnstone: Sketches of an elephant. Clarendon Press, 2002 

85

Topological Groups 

Topologische Gruppen 



Administration: Mars 

Konzeption: Bruinier, Mars, Scheithauer 


Bemerkungen: 

Sprache: deutsch oder englisch 





Voraussetzungen: Analysis, Einführung in die Algebra, Topologie 



Die Studierenden können nach Bestehen Definitionen, Beispiele und elementare Eigenschaften topologischer Gruppen 

aufzählen. Sie sollen weiterhin vertiefte Einblicke in die Theorie der topologischen Gruppen entwickeln. 

Inhalt 

Homogene Räume, (normale) Untergruppen und Faktorgruppen, Umgebungsfilter der 1, Trennungsaxiome, Zusammenhangskomponente 

der 1, Sätze der offenen Abbildungen, lokalkompakte Gruppen, Haar-Maß lokalkompakter Gruppen, 

ggf. Pontryagin-Dualität kompakter bzw. diskreter Gruppen 

Contents 

Homogenous spaces, (mormal) subgroups, neigbourhoodfilter of the identity, speration axioms, connected component 

of the identity, open mapping theorems, locally compact groups, Haar measure on locally compact groups, possible 

Pontryagin duality of compact and discrete groups 

Literatur 

Philip J. Higgins: An introduction to topological groups, Cambridge University Press, 1974; 

Dikran N. Dikranjan, Ivan R. Prodanov, Luchezae N. Stoyanov: Topological groups, Dekker 1989; 

MacCarty, George: Topology, an indrotuction with application to topological groups, New York: McGraw-Hill, 1976; 

N. Bourbaki, Groupes topologiques, Hermann, 1960 

M. Stroppel: Locally compact groups, EMS, 2006 

86

Topologie 

Topology 



Administration: Kollross 

Konzeption: Kollross, Scheithauer, Große-Brauckmann, Kümmerer 





Turnus: in der Regel jährlich im SS 



Voraussetzungen: Analysis, Einführung in die Algebra 



Nach Abschluss des Moduls sind die Studierenden mit grundlegenden topologischen Begriffen vertraut und in der Lage, 

diese Begriffe und die erarbeiteten Methoden in konkreten Situationen einzusetzen. Die Studierenden sollen außerdem 

topologische Methoden in verschiedenen Bereichen der Mathematik anwenden können. 

Inhalt 

Trennungsaxiome, Kompaktheit, Funktionenräume, Zusammenhang, Fundamentalgruppe und Überlagerungen 

Contents 

separation axioms, compactness, function spaces, connectivity, fundamental group and covering maps and spaces 

Literatur 

Munkres: Topology, Prentice Hall 

Bredon: Topology and Geometry, Springer 

Ossa: Topologie, Vieweg 

Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press 

Dugundji: Topology, McGraw-Hill 

Kelley: General Topology, Ishi Press. 

87

Topologische Gruppen 

Topological Groups 



Administration: Mars 

Konzeption: Bruinier, Mars, Scheithauer 


Bemerkungen: 

Sprache: deutsch oder englisch 





Voraussetzungen: Analysis, Einführung in die Algebra, Topologie 



Die Studierenden können nach Bestehen Definitionen, Beispiele und elementare Eigenschaften topologischer Gruppen 

aufzählen. Sie sollen weiterhin vertiefte Einblicke in die Theorie der topologischen Gruppen entwickeln. 

Inhalt 

Homogene Räume, (normale) Untergruppen und Faktorgruppen, Umgebungsfilter der 1, Trennungsaxiome, Zusammenhangskomponente 

der 1, Sätze der offenen Abbildungen, lokalkompakte Gruppen, Haar-Maß lokalkompakter Gruppen, 

ggf. Pontryagin-Dualität kompakter bzw. diskreter Gruppen 

Contents 

Homogenous spaces, (mormal) subgroups, neigbourhoodfilter of the identity, speration axioms, connected component 

of the identity, open mapping theorems, locally compact groups, Haar measure on locally compact groups, possible 

Pontryagin duality of compact and discrete groups 

Literatur 

Philip J. Higgins: An introduction to topological groups, Cambridge University Press, 1974; 

Dikran N. Dikranjan, Ivan R. Prodanov, Luchezae N. Stoyanov: Topological groups, Dekker 1989; 

MacCarty, George: Topology, an indrotuction with application to topological groups, New York: McGraw-Hill, 1976; 

N. Bourbaki, Groupes topologiques, Hermann, 1960 

M. Stroppel: Locally compact groups, EMS, 2006 

88

Wahrscheinlichkeitstheorie 

Probability Theory 



Administration: Betz 

Konzeption: Betz, Kümmerer, Kohler 





Turnus: unregelmäßig im WS 



Voraussetzungen: Module: Analysis, Integration, Einführung in die Stochastik 




- die grundlegenden Konzepte und Konstruktionen der Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie beschreiben und an einfachen 

Modellen anwenden, 

- die zentralen Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre Konsequenzen beschreiben und in einfachen Modellen 

anwenden, 

- zufällige Phänomene mathematisch modellieren und analysieren. 

Inhalt 

Maßtheoretische Grundlagen, Integrationstheorie, Zufallsgrößen, Konvergenzbegriffe, charakteristische Funktionen, Unabhängigkeit, 

0-1-Gesetze, bedingte Erwartungen, zeitdiskrete Martingale, Grenzwertsätze (Gesetze der großen Zahlen, 

Zentraler Grenzwertsatz) 

Contents 

Measure theoretical foundations, theory of integration, random variables, concepts of convergence, characteristic functions, 

stochastic independence, 0-1-laws, conditional expectations, martingales in discrete time, limit theorems: law of 

large numbers, central limit theorem. 

Literatur 

Bauer: Probability Theory 

Billingsley: Probability and Measure 

Elstrodt: Maß-und Integrationstheorie 

Gänssler, Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie 

Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie 

89

Zeitreihenanalyse 

Time series analysis 



Administration: Weiß 

Konzeption: Weiß 


Bemerkungen: 






Voraussetzungen: Einführung in die Stochastik, Probability Theory/Wahrscheinlichkeitstheorie 




-die wichtigsten Grundideen und zentralen Ergebnisse der Zeitreihenanalyse im Rahmen einfacher Zeitreihenmodelle 

beschreiben, 

-ausgewählte Methoden der Zeitreihenanalyse mathematisch analysieren und die dabei erlernten Beweistechniken auf 

verwandte Fragestellungen übertragen. 

Inhalt 

Zeitreihenmodelle in diskreter Zeit und Beispiele; Zeitreihenanalyse: Überblick; Modellidentifikation, Schätzen von Parametern, 

Prognose, Spektralanalyse 

Contents 

Time series models in discrete time annd examples; Time series analysis: Overview, model identification, estimation of 

parameters, forecast, spectral analysis 

Literatur 

Schlittgen, R., Streitberg, B.H.J.: Zeitreihenanalyse. Oldenbourg. 

Brockwell, P.J., Davis, R.A.: Introduction to Time Series and Forecasting. Springer. 

Falk et al.: A First Course on Time Series Analysis. 

http://statistik.mathematik.uni-wuerzburg.de/timeseries/ 

90

Modulhandbuch B.Sc. Mathematik - Fachbereich Mathematik ...

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