Kombinatorische Optimierung Approximation und Randomisierung ...

Handouts zur VL vom 06.05.2009 Stand dieser Sammlung: 17. Juli 2009
Algorithmus 2.2.3 (KMB-Algorithmus).
Eingabe: G = (V, E), T ⊆ V , c : E → R≥0
Ausgabe: Steinerbaum B = (V (B), E(B))
1: Berechne GT und ℓT (Distanzgraph mit Längenfunktion für T ), merke Dir dabei
die kürzesten Wege zwischen Knotenpaaren aus T .
2: Bestimme einen minimal spannenden Baum BT in GT .
3: Transformiere BT in einen Subgraphen GS von G durch Ersetzen der Kanten von
BT durch einen entsprechenden kürzesten Weg in G.
4: Bestimme einen minimal spannenden Baum BS für GS.
5: Erzeuge aus BS einen Steinerbaum B für T , indem sukzessive Kanten gelöscht
werden, die zu den Blättern gehören, die keine Terminale sind.
6: Gib B aus.
Satz 2.2.5 (Korrigierte Fassung). Sei (G, T, c) eine Steinerbaum-Instanz, BOPT ein
optimaler Steinerbaum und b die Anzahl der Blätter von BOPT. Der KMB-Algorithmus
2.2.3 terminiert auf (G, T, c) erfolgreich in O(|T |n 2 ) Schritten. Für den berechneten
Steinerbaum BKMB gilt
�
c(BKMB) ≤ 2 · 1 − 1
�
b
· c(BOPT) klar
≤ 2 · c(BOPT).
Dass der Algorithmus 2.2.3 erfolgreich und mit der geforderten Laufzeit terminiert,
haben wir in der VL besprochen. Die Güteschranke folgt aus dem folgenden Lemma:
Lemma 2.2.6. Sei (G, T, c) eine Steinerbaum-Instanz und seien BOPT und b wie in
Satz 2.2.5. Weiter sei BT ein MST in GT (vgl. KMB-Algorithmus 2.2.3). Dann gilt
Beweis (korrigierte Fassung):
c(BKMB) o.k.
≤ ℓT (BT ) z.z.!
�
≤ 2 ·
1 − 1
b
�
· c(BOPT).
– Betrachte in G eine Tour (einen geschlossenen Weg) R, der BOPT einmal „umläuft“
und in einem Blatt startet (siehe rote Tour im Bild; Terminale sind als Quadrate
dargestellt).
Offenbar gilt
c(R) = 2 · c(BOPT). (∗)
B. Langfeld, A. Srivstav: Kombinatorische Optimierung (CAU, SoSe 2009) 10