Kombinatorische Optimierung Approximation und Randomisierung ...

Handouts zur VL vom 15.06.2009 Stand dieser Sammlung: 17. Juli 2009
3. Fall: Die Kante e wird im Zeitfenster t überdeckt, weil sowohl i als auch j im
Zeitfenster t einen Slot zugewiesen bekommt; m.a.W.: Es gilt ¯xit = 1 = ¯xjt. In diesem
Fall gilt Ret = st − 2. Also werden im Algorithmus im t-ten Zeitfenster st − 2 Slots
auf Knoten verteilt, die mit e nichts zu tun haben, und je ein Slot wird Knoten i bzw.
j zugewiesen (und damit e überdeckt). Die Anzahl der Knoten, die der Reihe nach
auf die Slots verteilt werden, bevor i oder j an die Reihe kommt, beträgt also im
Erwartungswert E[st−2]
(wieder selber klarmachen). Vor diesen erwartet E[Ret]
Slots ist
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e nicht überdeckt und vor dem ersten Slot, dem i oder j zugewiesen wird, ist e auch
≤ 2. ✷
noch nicht überdeckt. Demnach gilt E[Wet] = 1 + E[Ret]
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Bemerkungen zur Definition von Wet:
Nehmen wir an, in der Definition von Wet nicht „vor“, sondern „in“. Dann gilt:
– Die Gleichheit E[Wet] = �
s∈[st] P[Bets|Aet] nicht i.A. mehr gegeben. Insofern würde
Wet nicht mehr helfen.
– Der Beweis von E[Wet] wäre leichter, weil man in den Fällen 2 und 3 direkt
Ret = st − 1 ≥ Wet bzw. Ret = st − 2 ≥ Wet hätte (das war Tims Vorschlag).
Insofern ist es schade, dass Wet anders definiert werden muss.
B. Langfeld, A. Srivstav: Kombinatorische Optimierung (CAU, SoSe 2009) 28
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