Kombinatorische Optimierung Approximation und Randomisierung ...
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Handouts zur VL vom 03.06.2009 Stand dieser Sammlung: 17. Juli 2009<br />
Für (3.5) erinnern wir die folgende Beziehung zwischen harmonischem <strong>und</strong> arithmetischem<br />
Mittel: Für Zahlen a1, . . . , ak > 0 gilt<br />
k<br />
� ki=1 1<br />
ai<br />
≤<br />
� ki=1 ai<br />
k<br />
. (∗6)<br />
Dies benutzen wir in der folgenden <strong>und</strong> abschließenden Abschätzung, die (3.5) beweist:<br />
n�<br />
j=1<br />
vj∈S ′<br />
y (2)<br />
j<br />
=<br />
v ′ ∈Si ℓ ∈M<br />
≥<br />
=<br />
(∗6)<br />
≥<br />
1<br />
2k<br />
1<br />
2k<br />
n�<br />
�<br />
j=1<br />
vj∈S ′<br />
S∈M<br />
vj∈S<br />
k�<br />
�<br />
i=1<br />
c(S ′ )<br />
2<br />
c(S ′ )<br />
2<br />
·<br />
·<br />
c(S)<br />
|S|<br />
c(Siℓ )<br />
|Siℓ |�|Siℓ<br />
|<br />
1<br />
�<br />
|S ′ | ·<br />
1<br />
�<br />
|S ′ | ·<br />
v ′ ∈S ′<br />
≥ 1<br />
2k<br />
(∗5)<br />
≥ 1<br />
2k<br />
k� 1<br />
�<br />
i=1 |Siℓ |<br />
k<br />
k<br />
k� �<br />
|Siℓ |<br />
i=1<br />
�<br />
S∈M<br />
v ′ ∈S<br />
i=1<br />
c(S)<br />
|S|<br />
k� c(S ′ )<br />
�<br />
|S ′ | �<br />
|Siℓ |<br />
= c(S′ ) · k<br />
2<br />
B. Langfeld, A. Srivstav: <strong>Kombinatorische</strong> <strong>Optimierung</strong> (CAU, SoSe 2009) 20<br />
· 1<br />
s .<br />
✷
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