Kombinatorische Optimierung Approximation und Randomisierung ...

Kombinatorische Optimierung 

Approximation und Randomisierung 

Barbara Langfeld Anand Srivastav 

Institut für Informatik 

Christian-Albrechts-Universität zu Kiel 

Sommersemester 2009 

http://www.numerik.uni-kiel.de/~lang/sose09/kopt2.html 

☞ Der folgende Text ist kein Skript; er ergänzt die Vorlesungsmitschrift (und ersetzt 

sie nicht). Der Text beinhaltet: 

• Sammlung der Handouts zu den Einzelvorlesungen, 

• Korrekturen/Ergänzungen zum Tafelanschrieb, 

• Literatur und weitere Quellen zur Vorlesung. 

Stand dieser Sammlung: 17. Juli 2009 

1

Handouts zur VL vom 20.04.2009 Stand dieser Sammlung: 17. Juli 2009 

Algorithmus 0.3.1 (Kruskal-Algorithmus für MST). 

Eingabe: Zusammenhängender Graph G = (V, E), Kantengewichtung c : E → R. 

Ausgabe: Ein (minimal aufspannender) Baum T = (V, ET ). 

1: m ← |E|, ET ← ∅ ⊲ Initialisierung 

2: Sortiere die Kanten nach Gewichten: c(e1) ≤ . . . ≤ c(em) 

3: for i from 1 to m do 

4: if (V, ET ∪ {ei}) kreisfrei then 

5: ET ← ET ∪ {ei} 

6: end if 

7: end for 

8: Gib T = (V, ET ) aus. 

B. Langfeld, A. Srivstav: Kombinatorische Optimierung (CAU, SoSe 2009) 2


Beispiel 1.1.2. 

⎛ 

∗ 

⎜ 3 

C = ⎜ 

⎝1/2 

2 

∗ 

17 

0 

1 

∗ 

⎞ 

5 

2 ⎟ 

5⎠ 

4 7 1 ∗ 

Beispiel 1.1.6. 

⎛ 

∗ 

⎜ 3 

C = ⎜ 

⎝1/2 

· 

∗ 

17 

· 

· 

∗ 

⎞ 

· 

· ⎟ 

· ⎠ 

4 7 1 ∗ 

3 

1 2 2 

0 5 

1 

2 

1/2 

17 

4 

7 

1 

3 5 4 

1 

3 

2 

1/2 4 

17 

7 

3 

1 

4 

� 

� 

1 2 3 4 

π1 = 

3 2 1 4 

� 

� 

1 2 3 4 

π2 = 

1 2 3 4 

T = (1, 2, 3, 4, 1) 

T ′ = (1, 3, 4, 2, 1) 

Beispiel 1.2.5. Euklidisches Beispiel: Kosten sind euklidische Abstände. 



Algorithmus 1.2.4 (Christofides-Algorithmus). 

Eingabe: Eine symmetrische TSP-Instanz (Kn, c) mit Dreieckungleichung. 

Ausgabe: TSP-Tour. 

1: Berechne minimalen spannenden Baum S in (Kn, c). ⊲ z.B. mit Kruskal 

2: Setze V ′ := {v ∈ V : deg S(v) ist ungerade}. 

3: Berechne in (Kn, c) zwischen den Knoten aus V ′ ein perfektes Matching M mit 

minimalen Kosten. ⊲ z.B. mit Edmonds 

4: Setze G ∗ := (V, E(S) ∪ M); das ist möglicherweise ein Multigraph. 

5: Berechne eine Eulertour R in G ∗ . 

6: Aus R gewinne TSP-Tour T durch Shortcut-Technik. 

7: Gib T aus. 



Zur Sprechweise („Meist, aber nicht immer im Sinne von...“): 

Algorithmus: „lässt sich analysieren“, „Gütegarantie bekannt.“ 

Heuristik: „produziert schnell eine zulässige Lösung“ (oft ohne Gütegarantie). 

Zwei Grundideen für Heuristiken: 

Insert-Heuristiken: Beginne mit Teillösung, erweitere sie durch „Einfügen“. 

z.B. MST: Subgraph Stück für Stück zum Baum erweitern. 

z.B. TSP: „Subtour“ Stück für Stück um Städte erweitern (s.u.). 

Verbesserungs-Heuristiken: Beginne mit (kompletter) Lösung, verbessere diese durch 

lokale Operationen. 

Bsp. Matching: Starte mit nicht erweiterbarem Matching, versuche durch lokales 

Kantentauschen ein größeres Matching zu finden („augmentierende Pfade“). 

Bsp. TSP: Starte mit Tour, nimm (z.B.) 2 Kanten aus der Tour und probiere, 

ob Ersetzen durch zwei andere Kanten eine kürzere Tour liefert. Iteriere das. 

☞ Für das TSP gibt es viele Heuristiken (2-Opt-Heuristik, Lin-Kernighan-Heuristik, 

Approximatonsschema von Arora,...), wir betrachten exemplarisch Insert-Heuristiken. 

Algorithmus 1.3.6 (TSP-Insert). 

Eingabe: Eine symmetrische TSP-Instanz, eine Heuristik NEXT ∈ {NEXTN, NEXTF , NEXTC} 

und ein Startknoten v1 ∈ V . 

Ausgabe: TSP-Tour. 

1: T1 ← (v1), i ← 1 ⊲ Initialisierung 

2: Bilde Ti+1 durch Einfügen von vi+1 := NEXT(Ti) in Ti. 

3: i ← i + 1 

4: falls i < n, also noch Knoten nicht besucht werden, gehe zu 2. 

5: Gib T aus. 



Algorithmus 1.5.1 (Allgemeines Schema für B & B im TSP). 

Eingabe: TSP-Instanz (Kn, c) 

Ausgabe: Optimale (also kostenminimale) TSP-Tour T ∗ 

Es sei T die Menge aller TSP-Touren. 

1: Finde obere Schranke Soben ∈ [0, ∞] für optimale TSP-Tour. 

2: B ← ({T }, ∅) 

3: Markiere den Knoten T mit „aktiv“. ⊲ Ende der Initialisierung 

4: while es gibt aktiven B-Knoten do 

5: Wähle aktiven Knoten X ∈ B 

6: Markiere X als „inaktiv“. 

7: Erzeuge mit Branch(X) eine Partition X = X0 ˙∪ . . . ˙∪Xℓ(X). 

8: for i = 1, . . . , ℓ(X) do 

9: Ermittele mit Bound(Xi) untere Schranke Sunten für alle Touren in Xi. 

10: if Xi = {T } und c(T ) ≤ Soben then 

11: Soben ← c(T ) und T ∗ ← T 

12: end if 

13: if |Xi| > 1 und Sunten ≤ Soben then 

14: B ← (V (B) ∪ {Xi}, E(B) ∪ {{X, Xi}}) 

15: Markiere Xi mit „aktiv“. 

16: end if 

17: end for 

18: end while 

19: Gib T ∗ aus. 

20: procedure Branch(X) ... ist noch zu definieren ... 

21: end procedure 

22: procedure Bound(X) ... ist noch zu definieren ... 

23: end procedure 



Algorithmus 1.5.13 (Bound). 

Eingabe: Disjunkte Mengen A, B ⊆ E 

Ausgabe: Untere Schranke Sunten für alle Touren in X(A, B). 

1: U ← {(ST1), (ST2)} ∪ {xe = 1 : e ∈ A} ∪ {xe = 0 : e ∈ B} 

2: Finde Lösung x ∗ ∈ R |E| des LPs 

min{c T x : x erfüllt alle (Un-)Gleichungen in U}. 

(Falls das LP unzulässig, setze X(A, B) auf „inaktiv“) 

3: Teste, ob x ∗ die Ungleichungen (ST3) erfüllt. ⊲ Prop. 1.5.11 

4: if x ∗ erfüllt (ST3) then 

5: Sunten ← c T x ∗ 

6: if x ∈ {0, 1} |E| then 

7: T ← TSP-Tour, für die x ∗ Inzidenzvektor ist ⊲ T optimal in X(A, B) 

8: Ersetze X(A, B) im Suchbaum B durch {T } ⊲ Branch(X) unnötig 

9: end if 

10: else 

11: U ← U ∪ {verletzte Subtourungleichung} 

12: goto 2 

13: end if 

14: Gib Sunten aus. 



Algorithmus 1.5.21 (B & B im TSP mit 1-Bäumen). 

Eingabe: TSP-Instanz (Kn, c) 

Ausgabe: Optimale (also kostenminimale) TSP-Tour T ∗ 

Es sei wie bisher T die Menge aller TSP-Touren. 

1: Finde 1-Baum E ′ in (Kn, c) mit kleinstem Gewicht 

2: if E ′ TSP-Tour then fertig, T ∗ ← E ′ goto 26 

3: end if 

4: Finde obere Schranke Soben ∈ [0, ∞] für optimale TSP-Tour. 

5: B ← ({T }, ∅), markiere den Knoten T mit „aktiv“. 

6: while es gibt aktiven B-Knoten do ⊲ Branch nach Algorithmus 1.5.3 

7: Wähle aktiven Knoten X(A, B) ∈ B, markiere X als „inaktiv“. 

8: Wähle e ∈ E \(A∪B) und setze X0 ← X(A, B∪{e}) und X1 ← X(A∪{e}, B). 

9: for i = 1, 2 do 

10: Suche kostenminimalen 1-Baum E ′ 

11: mit den für Xi vorgegebenen/verbotenen Kanten. ⊲ Prop. 1.5.18 

12: if solch ein 1-Baum existiert nicht then markiere Xi mit „inaktiv“ 

13: else 

14: Sunten ← c(E ′ ) 

15: if E ′ TSP-Tour then 

16: Xi ← {E ′ } ⊲ besser als E ′ geht es in Xi nicht 

17: if c(E ′ ) ≤ Soben then Soben ← c(T ) und T ∗ ← E ′ 

18: end if 

19: end if 

20: end if 

21: if |Xi| > 1 und Sunten < Soben then 

22: B ← (V (B) ∪ {Xi}, E(B) ∪ {{X, Xi}}), markiere Xi mit „aktiv“. 

23: end if 

24: end for 

25: end while 

26: Gib T ∗ aus. 



Beispiel 1.5.22 (Fortsetzung von Beispiel 1.5.17). 

e 

1 

2 

1 

1 

e’ 

1 

3 

Nebenrechnungen: 

X(∅, {e}) 

X({e}, ∅) 

X({e}, {e ′ }) 

X({e, e ′ }, ∅) 

T = X(∅, ∅) 

X(∅, {e}) X({e}, ∅) 

X({e}, {e ′ }) X({e, e}, ∅) 



Algorithmus 2.2.3 (KMB-Algorithmus). 

Eingabe: G = (V, E), T ⊆ V , c : E → R≥0 

Ausgabe: Steinerbaum B = (V (B), E(B)) 

1: Berechne GT und ℓT (Distanzgraph mit Längenfunktion für T ), merke Dir dabei 

die kürzesten Wege zwischen Knotenpaaren aus T . 

2: Bestimme einen minimal spannenden Baum BT in GT . 

3: Transformiere BT in einen Subgraphen GS von G durch Ersetzen der Kanten von 

BT durch einen entsprechenden kürzesten Weg in G. 

4: Bestimme einen minimal spannenden Baum BS für GS. 

5: Erzeuge aus BS einen Steinerbaum B für T , indem sukzessive Kanten gelöscht 

werden, die zu den Blättern gehören, die keine Terminale sind. 

6: Gib B aus. 

Satz 2.2.5 (Korrigierte Fassung). Sei (G, T, c) eine Steinerbaum-Instanz, BOPT ein 

optimaler Steinerbaum und b die Anzahl der Blätter von BOPT. Der KMB-Algorithmus 

2.2.3 terminiert auf (G, T, c) erfolgreich in O(|T |n 2 ) Schritten. Für den berechneten 

Steinerbaum BKMB gilt 

� 

c(BKMB) ≤ 2 · 1 − 1 

� 

b 

· c(BOPT) klar 

≤ 2 · c(BOPT). 

Dass der Algorithmus 2.2.3 erfolgreich und mit der geforderten Laufzeit terminiert, 

haben wir in der VL besprochen. Die Güteschranke folgt aus dem folgenden Lemma: 

Lemma 2.2.6. Sei (G, T, c) eine Steinerbaum-Instanz und seien BOPT und b wie in 

Satz 2.2.5. Weiter sei BT ein MST in GT (vgl. KMB-Algorithmus 2.2.3). Dann gilt 

Beweis (korrigierte Fassung): 

c(BKMB) o.k. 

≤ ℓT (BT ) z.z.! 

� 

≤ 2 · 

1 − 1 

b 

� 

· c(BOPT). 

– Betrachte in G eine Tour (einen geschlossenen Weg) R, der BOPT einmal „umläuft“ 

und in einem Blatt startet (siehe rote Tour im Bild; Terminale sind als Quadrate 

dargestellt). 

Offenbar gilt 

c(R) = 2 · c(BOPT). (∗) 



– Sei B = {w1, . . . , wb} die Menge der Blätter von BOPT. Die Numerierung sei gemäß 

der Besuchsreihenfolge durch R gewählt. Wir erhalten so b Tourstücke 

(w1, . . . , w2), (w2, . . . , w3), . . . , (wb−1, . . . , wb), (wb . . . , w1), 

die Terminale aus B verbinden. Ein teuerstes dieser Tourstücke kostet mindestens 

c(R) 

b . 

– Sei R ∗ aus R durch Löschen eines teuersten Tourstückes hervorgegangen. O.E. sei 

R ∗ weiterhin ein Weg (nimm z.B. o.E. an, dass das letzte Tourstück (wb, . . . , w1) 

das gelöschte Tourstück war). 

Es gilt also 

c(R) − c(R ∗ ) ≥ c(R) 

(∗∗) 

b 

– Sind die Knoten in T = {t1, . . . , t|T |} in der Reihenfolge numeriert, in der R∗ sie 

besucht, so definiert dies den Weg W = (t1, . . . , t|T |) in GT (der nicht unbedingt 

Pfad sein muss). Wir identifizieren W mit dem Subgraphen von GT , der alle Kanten 

enthält, die W durchläuft. 

Damit ist W „spannend“, d.h. W enthält alle GT -Knoten und ist zusammenhängend. 

Insbesondere ist W mindestens so schwer wie ein MST in GT . Zusammen: 

ℓT (BT ) ≤ ℓT (W ) ≤ c(R ∗ ), (∗∗∗) 

wobei die letzte Ungleichung folgt, weil der durch R ∗ definierte Pfad von ti nach ti+1 

nach Definition von ℓT mindestens so viel kostet wie ℓT ({ti, ti+1}) (i ∈ [|T | − 1]). 

– Insgesamt: 

ℓT (BT ) (∗∗∗) 

≤ c(R ∗ ) (∗∗) 

≤ c(R) − c(R) 

b = 

� 

1 − 1 

b 

� 

· c(R) (∗) � 

≤ 2 · 1 − 1 

� 

b 

· c(BOPT). 



Definition 2.3.1 (korrigierte Fassung). Seien G = (V, E) ein Graph, T ⊆ V und 

c : E → R≥0. Ein Steinerbaum B bezüglich (G, T ) heißt voll, falls jedes Terminal in 

T Blatt von B ist. 

Sei k ∈ N mit k ≥ 2. Eine Menge � = {B1, . . . , Bℓ} von Bäumen auf G heißt 

k-Steinerbaum, falls gilt: 

(1) Für alle i ∈ [ℓ] ist V (Bi) ∩ T ≤ k . 

(2) Für alle i ∈ [ℓ] ist Bi voller Steinerbaum auf dem von V (Bi) in G induzierten 

Graphen G[V (Bi)] mit induzierter Terminalmenge V (Bi) ∩ T . 

(3) T ⊆ � 

i∈[ℓ] V (Bi). 

(4) Die Menge � 

i∈[ℓ] E(Bi) ⊆ E induziert einen zusammenhängenden Graphen in G. 

(5) Die Bi sind Terminal-zusammenhängend, d.h. der Subgraph � 

i∈[ℓ] GT [V (Bi) ∩ T ] 

vom Distanzgraphen GT ist zusammenhängend. Anders gesagt: Für jedes Paar 

i, j ∈ [ℓ] gibt es eine Folge (i1, . . . , iℓ ′) von Indizes aus [ℓ] mit V (Bis) ∩ V (Bis+1) ∩ 

T �= ∅ für alle s ∈ {0, 1, . . . , ℓ ′ }, wobei i0 := i und iℓ+1 := j. 

Das Gewicht von � ist definiert als 

c(�) := � 

c(Bi), 

i∈[ℓ] 

wobei hier tatsächlich Kanten mehrfach in die Summe eingehen können. Im Folgenden 

bezeichne � (k) 

OPT stets einen k-Steinerbaum minimalen Gewichtes. 

Noch einige Bemerkungen zur Definition und zu Forderung (5): 

– Die Bedingungen (3) und (4) implizieren, dass � 

i∈[ℓ] Bi einen Steinerbaum enthält. 

– Beobachtung von Jan K.: Ohne (5) wäre im Graphen 

v1 

v3 

v2 

v0 

v4 

ein optimaler 2-Steinerbaum durch die zwei Bäume B1, B2 definiert, die durch 

{v0, v1, v2} und {v0, v3, v4} induziert werden. Der entsprechende Subgraph in GT ist 

unzusammenhängend. Will man � = {B1, B2} zu einem 2-Steinerbaum mit (1)-(5) 

erweitern, so muss man noch (mindestens) einen der Bäume dazunehmen, die durch 

{v0, v1, v3} bzw. {v0, v2, v4} induziert werden. 

– In [KV08, Abschnitt 20.2] wird (bis auf Benennung) die Definition ohne (5) gegeben, 

allerdings folgen dann auch Aussagen, die ohne zusätzliche Annahmen nicht gelten 

(etwa, dass die Klasse der Sterne zeigt, dass r2 = 2 (gemäß unserer Definition 3.2.4)). 

Auch in anderen Skripten und Artikeln wird (5) nicht immer explizit gemacht. 

– Die Definition mit Bedingung (5) findet sich (mit anderer Bezeichnung und etwas 

verstreut) in [PS02, Kapitel 7]. 

– Ohne (5) wird auch der Beweis von Lemma 2.3.15 falsch: Ganz am Ende nutzen wir, 

dass mst(GT /t1, . . . , ti, t ∗ 1, . . . , t ∗ ℓ) = 0. Dazu kann es (je nach Instanz) erforderlich 

sein, dass die Vereinigung der Graphen GT [t ∗ 1], . . . , G[t ∗ ℓ] in GT zusammenhängend 

ist. 



Algorithmus 2.3.10 (RelativerGreedyk). 

Eingabe: G = (V, E), T ⊆ V , c : E → R≥0 

Ausgabe: Steinerbaum B 

1: Berechne GT und ℓT (Distanzgraph mit Längenfunktion für T ). 

2: i ← 0, GS := (∅, ∅) ⊲ Initialisierung 

3: while mst(GT /t1, . . . , ti) �= 0 do 

4: wähle ti+1 ⊆ T mit |ti+1| ≤ k, welches den folgenden Ausdruck minimiert: 

fi(ti+1) := 

cOPT(ti+1) 

mst(GT /t1, . . . , ti) − mst(GT /t1, . . . , ti+1) 

5: GS ← GS ∪ BOPT(ti+1), i ← i + 1 

6: end while 

7: Ergänze im Subgraphen GS alle Kanten in G mit Gewicht 0, damit wirklich alle 

Terminale von Kanten in GS erreicht werden und GS zusammenhängend ist. 

8: Bestimme einen minimal spannenden Baum BS für GS. 

9: Erzeuge aus BS einen Steinerbaum B für T , indem sukzessive Kanten gelöscht 

werden, die zu den Blättern gehören, die keine Terminale sind. 

10: Gib B aus. 

Das folgende Bild gab es in der VL nicht als Handout: 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

Ab wann lohnt sich der rel. Greedy im Vergleich zum KMB-Algorithmus? Hier für k= 2^r. 

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 

r 

1.694*(r+1)/r 

1.694 



Algorithmus 3.2.10 (Multifluss-Multicut-Algorithmus für Bäume). 

Eingabe: T = (V, E), b : E → Q≥0, {P1, . . . , Pk} 

Ausgabe: Multifluss f = (f1, . . . , fk) T , Multicut M 

Phase 1: T wird rückwärts bearbeitet 

1: ℓmax ← max{dist(r, v) : v ∈ V } 

2: for ℓ = ℓmax downto 0 do 

3: 

4: 

for v Knoten � in Ebene ℓ do 

Iv ← i ∈ {1, . . . , k} : Pi 

� 

liegt ganz in Tv und 

enthält keine saturierte Kante 

5: for i ∈ Iv (in beliebiger Reihenfolge) do 

6: fi ← maximal aktuell möglicher Fluss durch Pi 

7: end for 

8: Qv ← {e ∈ E : e wurde in for-Schleife 5 saturiert} 

9: LIM(v) ← {e ∈ Qv : e hat keine Vorgängerkante in Qv} 

10: end for 

11: end for 

Phase 2: T wird vorwärts bearbeitet 

12: M ← ∅ 

13: for ℓ = 0 upto ℓmax do 

14: for v Knoten in Ebene ℓ do 

15: for e ∈ LIM(v) do 

16: if zwischen e und v ist noch keine Kante aus M then 

17: M ← M ∪ {e} 

18: end if 

19: end for 

20: end for 

21: end for 

22: Gib f und M aus. 



3.5 Noch eine Variante: k-Matching 

Definition 3.5.1 (k-Matching, Maximum-(Weighted-)k-Matching). Seien H = 

(V, E ) ein Hypergraph, k ∈ N, c : E → R≥0. Eine Hyperkantenmenge M ⊆ E 

heißt k-Matching, falls jeder Knoten in höchstens k Hyperkanten aus M liegt. In 

Formeln: 

∀ v ∈ V : |{S ∈ M : v ∈ S}| ≤ k. 

Ein Maximum-Weighted-k-Matching ist ein k-Matching M mit maximalem c(M ) = 

� 

S∈M c(S). 

Ein Maximum-k-Matching ist ein k-Matching M mit maximaler Kardinalität |M |. 

Beispiel 3.5.2. � 

Problem 3.5.3. 

(a) Maximum-Weighted-k-Matching: 

Eingabe: Hypergraph H = (V, E ), k ∈ N, c : E → R≥0 

Gesucht: Maximum-Weighted-k-Matching 

(b) Maximum-k-Matching: 

Eingabe: Hypergraph H = (V, E ), k ∈ N 

Gesucht: Maximum-k-Matching 

Proposition 3.5.4. Die Entscheidungsversionen von Maximum-Weighted-k-Matching 

und Maximum-k-Matching sind N P-vollständig, selbst wenn k = 3 fixiert wird. 

(Ohne Beiweis.) 

Bemerkung 3.5.5. Anwendungen gibt es z.B. in der Logistik, Stundenplanung, Medizin 

(hier z.B. in der Brachytherapie: Fohlin, Kliemann, Srivastav 2006). 

Ein einfaches Beispiel für Stundenplanproblem: Knoten entsprechen Lehrer/innen. 

Kanten repräsentieren Kurse, die die Lehrer „enthalten“, die den jeweiligen Kurs 

unterrichten können. Die Zahl k ist eine Kostengrenze: Jede/r Lehre/in soll maximal 

k Kurse halten. Ziel ist es, ein möglichst reichhaltiges Kursangebot zu machen. 



Algorithmus 3.5.6 (Greedy-Algorithmus für Max-Weighted-k-Matching). 

Eingabe: k ∈ N, Hypergraph (V, E ), Gewichte c : E → R≥0 

Ausgabe: Ein k-Matching M von (V, E ) 

1: M ← ∅ 

2: Sortiere die Hyperkanten in E = {S1, . . . , Sm} so, dass 

c(S1) √ 

|S1| 

c(S2) 

≥ √ 

|S2| 

c(Sm) 

≥ . . . ≥ √ . 

|Sm| 

3: for i from 1 to m do 

4: if M ∪ {Si} ist k-Matching then M ← M ∪ {Si} 

5: end if 

6: end for 

7: Gib M aus. 


Satz 3.5.8 (Krysta 2005, siehe [Kry05]). Algorithmus 3.5.6 terminiert erfolgreich mit 

höchstens O(n · m 2 ) Operationen (dabei gilt wie üblich die Setzung n := |V |, m := |E |). 

Wenn MOPT ein Maximum-Weighted-k-Matching und M vom Algorithmus ausgegeben 

ist, so gilt: c(MOPT) ≤ ( √ n + 1) · c(M ) oder anders geschrieben 

c(MOPT) 

√ n + 1 ≤ c(M ) ≤ c(MOPT). 

Bemerkung 3.5.9. Die Gütegarantie ist im Vergleich zu den Gütegarantien für 

andere Probleme aus der Vorlesung bisher in gewisser Weise die schlechteste. Aber 

ein Faktor besser als √ n ist beweisbar „unwahrscheinlich“ (ohne Details; sonst gilt 

„N P = ZPP“). 

Später in der Vorlesung werden wir sehen, dass es einen Algorithmus für Max-k- 

Matching gibt, der mit Hilfe des Zufalls arbeitet und eine wesentlich bessere erwartete 

Approximationsgüte hat (allerdings unter der Nebenbedingung, dass k genügend groß 

ist). 



Beweis von Satz 3.5.8: Wir müssen zeigen: 

(1) Der Algorithmus terminiert erfolgreich, 

(2) er braucht O(n · m 2 ) Operationen und 

(3) die Gütegarantie stimmt. 

(1) und (2) sind einfach und wurden in der VL thematisiert; dort wurde auch auf 

einen kleinen Fallstrick hingewiesen: Im Algorithmus werden Wurzeln gezogen, was 

ganz exaktes Rechnen ggf. nicht möglich macht. 

(3) wurde auch in der VL behandelt, allerdings hatte sich an einigen Stellen eine 

Vertauschung von m und n eingeschlichen (vgl. die Definition von yj weiter unten). 

Daher hier die vollständige, aktualisierte Version des Beweises: 

Zu (3): Wir argumentieren „Primal-Dual“ (über eine Variante des dual fitting aus der 

letzten Vorlesung). Sei E = {S1, . . . , Sm} wie im Algorithmus und sei V = {v1, . . . , vn}. 

Für die Ausgabe M des Algorithmus sei x∗ der Inzidenzvektor von MOPT, für i ∈ [m] 

ist also 

x ∗ ⎧ 

⎨1 

Si ∈ MOPT 

i := 

. 

⎩ 

0 Si /∈ MOPT 

Wir betrachten die zueinander dualen linearen Programme 

und 

und stellen fest: 

m� 

max c(Si)xi 

i=1 

m� 

xi ≤ k f.a. v ∈ V 

i=1 

v∈Si 

Jetzt setzen wir für i ∈ [m] und j ∈ [n] 

Wir zeigen 

⎛ 

yj := 1 ⎜c(M 

) 

⎜ 

2k 

⎝ 

n 

(3.1) � n j=1 k · yj = c(M ) 

0 ≤ xi ≤ 1 f.a. i ∈ [m] 

min � �n 

m� � 

k · yj + zi 

j=1 

i=1 

n� 

zi + yj ≥ c(Si) f.a. i ∈ [m] 

j=1 

vj∈Si 

yj, zi ≥ 0 f.a. i ∈ [m], j ∈ [n] 

+ � 

S∈M 

vj∈S 

(P) 

(D) 

x ∗ ist zulässig für (P). (∗1) 

c(S) 

|S| 

⎞ 

⎧ 

⎟ 

⎨c(si) 

Si ∈ M 

⎟ 

⎠ und zi := 

⎩0 

Si /∈ M . 



(3.2) � m i=1 zi = c(M ) 

(3.3) ( √ n · y, z) ist zulässig für (D), d.h. y ∈ R n ≥0, z ∈ R m ≥0 und 

∀ i ∈ [m] : zi + √ n 

n� 

j=1 

vj∈Si 

yj ≥ c(Si) (∗2) 

Daraus folgt dann die Güteschranke, denn für eine Optimallösung (y ∗ , z ∗ ) von (D) 

gilt 

c(MOPT) 

Dualität und (∗1) 

≤ 

(3.1), (3.2) 

= 

Es bleiben also noch (3.1), (3.2), (3.3) zu zeigen. 

Aussage (3.1) rechnen wir nach: 

n� 

k · yj = 

j=1 

n� 

j=1 

⎛ 

k ⎜c(M 

) 

⎜ 

2k 

⎝ 

n 

n� 

k · y 

j=1 

∗ m� 

j + z 

i=1 

∗ (3.3) 

i ≤ √ n� 

m� 

n k · yj + zi 

j=1 

i=1 

√ √ 

n · c(M ) + c(M ) = ( n + 1) c(M ). 

+ � 

= 1 

⎛ 

⎝n 

c(M ) � 

+ 

2 n S∈M 

Aussage (3.2) ist offensichtlich. 

S∈M 

vj∈S 

c(S) 

|S| 

|S| c(S) 

|S| 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎛ 

1 ⎜ 

= ⎜ 

2 

⎝ 

n� 

j=1 

⎠ = c(M ). 

c(M ) 

n + 

n� 

j=1 

� 

S∈M 

vj∈S 

c(S) 

|S| 

Für (3.3) stellen wir fest, dass offensichtlich y ∈ R n ≥0 und z ∈ R m ≥0. Um (∗2) zu zeigen 

sei i ′ ∈ [m]. Falls Si ′ ∈ M , so ist (∗2) klar, weil dann bereits zi ′ ≥ c(Si ′). Gelte nun 

also S ′ := Si ′ /∈ M . Da in diesem Fall zi ′ = 0 gilt, bleibt zu zeigen 

Dafür werden wir gleich zeigen, dass 

n� 

j=1 

vj∈S ′ 

n� 

j=1 

vj∈S ′ 

yj ≥ c(S′ ) 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

yj ≥ c(S′ ) 

√ n . (∗3) 

� � 

s k 

+ 

nk s 

mit noch zu definierendem s > 0. Eine einfache Kurvendiskussion zeigt, dass smin := 

√ n · k das eindeutige globale Minimum der Funktion 

s ↦→ s k 

+ 

nk s 

B. Langfeld, A. Srivstav: Kombinatorische Optimierung (CAU, SoSe 2009) 18 

(∗4)


ist. Einsetzen von smin liefert dann (3.3): 

n� 

j=1 

vj∈S ′ 

yj ≥ c(S′ ) 

2 

�√ n · k 

n · k 

Um (∗4) zu zeigen, setzen wir für j ∈ [n] 

y (1) 

j := 1 

2k 

c(M ) 

, y(2) j := 

n 1 

2k 

� 

k 

+ √ = 

n · k 

c(S′ ) 

√ . 

n 

� 

S∈M 

vj∈S 

c(S) 

|S| . 

Dann ist yj = y (1) 

j + y (2) 

j . Die folgenden beiden Aussagen implizieren (∗4): 

(3.4) 

(3.5) 

n� 

j=1 

vj∈S ′ 

n� 

j=1 

vj∈S ′ 

y (1) 

j ≥ c(S′ ) 

· s, 

2kn 

y (1) 

j ≥ c(S′ ) · k 

· 

2 

1 

s . 

Um diese beiden Aussagen herzuleiten, müssen wir endlich einmal die Funktionsweise 

des Algorithmus benutzen. Dafür, dass S ′ nicht in M aufgenommen wurde, gibt es 

einen Grund: Es muss einen Knoten v ′ ∈ S ′ geben, der der Aufnahme von S ′ in M 

„widersprochen“ hat, weil bereits Mengen Si1, . . . , Sik in M aufgenommen wurden, die 

alle v ′ enthalten. Insbesondere gilt für ℓ ∈ [k]: 

Damit können wir (3.4) beweisen: Wegen 

gilt 

mit 

c(M ) = � 

n� 

j=1 

vj∈S ′ 

S∈M 

c(S) 

Si ℓ ∈M 

≥ 

y (1) 

j = |S′ | 

c(M ) = 

2kn 

c(Siℓ ) 

� 

|Siℓ | ≥ c(S′ ) 

� 

|S ′ . (∗5) 

| 

k� 

c(Siℓ ) = 

ℓ=1 

� 

|S ′ � 

| |S ′ | 

2kn 

s := 

k� 

ℓ=1 

k� 

ℓ=1 

c(Siℓ ) 

� 

|Siℓ | 

� 

(∗5) 

|Siℓ | = 

c(M ) ≥ c(S′ ) 

2kn 

� 

|S ′ � 

| |Siℓ | > 0. 

k� 

ℓ=1 

k� 

ℓ=1 

c(S ′ ) 

� 

|S ′ | · 

� 

|Siℓ | 

� 

|S ′ � 

| |Siℓ | = c(S′ ) 

· s 

2kn 



Für (3.5) erinnern wir die folgende Beziehung zwischen harmonischem und arithmetischem 

Mittel: Für Zahlen a1, . . . , ak > 0 gilt 

k 

� ki=1 1 

ai 

≤ 

� ki=1 ai 

k 

. (∗6) 

Dies benutzen wir in der folgenden und abschließenden Abschätzung, die (3.5) beweist: 

n� 

j=1 

vj∈S ′ 

y (2) 

j 

= 

v ′ ∈Si ℓ ∈M 

≥ 

= 

(∗6) 

≥ 

1 

2k 

1 

2k 

n� 

� 

j=1 

vj∈S ′ 

S∈M 

vj∈S 

k� 

� 

i=1 

c(S ′ ) 

2 

c(S ′ ) 

2 

· 

· 

c(S) 

|S| 

c(Siℓ ) 

|Siℓ |�|Siℓ 

| 

1 

� 

|S ′ | · 

1 

� 

|S ′ | · 

v ′ ∈S ′ 

≥ 1 

2k 

(∗5) 

≥ 1 

2k 

k� 1 

� 

i=1 |Siℓ | 

k 

k 

k� � 

|Siℓ | 

i=1 

� 

S∈M 

v ′ ∈S 

i=1 

c(S) 

|S| 

k� c(S ′ ) 

� 

|S ′ | � 

|Siℓ | 

= c(S′ ) · k 

2 


· 1 

s . 

✷


Lemma 4.0.7. Für β ≥ 0 und t := ln(1 + β) gilt � n i=1 E[exp(twiXi)] ≤ exp(βE[X ]). 

Lemma 4.0.8 (korrigierte Fassung). Für 0 ≤ β < 1 und t ′ := − ln(1 − β) gilt t ′ > 0 

und 

n� 

i=1 

E[exp(−t ′ wiXi)] ≤ exp(−βE[X ]). 

Zum Beweis von Satz 4.0.4 (b): Gehe analog zu (a) vor und benutze Lemma 4.0.8. 

Die ersten Beweisschritte gehen mit t ′ := − ln(1 − β) so: 

P � 

X ≤ (1 − β)E[X ] � 

= P � 

t ′ X ≤ t ′ (1 − β)E[X ] � 

= P � 

−t ′ X ≥ −t ′ (1 − β)E[X ] � 

= P � 

exp � 

−t ′ X � 

≥ exp � 

−t ′ (1 − β)E[X ] �� 

Markov, 4.0.5 

≤ 

E � 

exp(−t ′ X ) � 

exp � 

−t ′ (1 − β)E[X ] � 



Die folgende Bilder illustrieren den Beweis der Abschätzungen aus Lemma 4.0.10: 

0.1 

0 

-0.1 

-0.2 

-0.3 

-0.4 

-0.5 

-0.6 

-0.7 

-0.8 

-0.9 

Vergleich von x-ln(1+x)*(1+x) und (-x^2)/(?) 

x-(1+x)ln(1+x) 

Ableitung: -ln(1+x) 

-x^2 

(-x^2)/2 

(-x^2)/3 

Ableitung: -2x/3 

-1 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 

0.1 

0 

-0.1 

-0.2 

-0.3 

-0.4 

-0.5 

-0.6 

-0.7 

-0.8 

-0.9 

Vergleich von -x-ln(1-x)*(1-x) und (-x^2)/(?) 

-x-(1-x)ln(1-x) 

Ableitung: ln(1-x) 

-x^2 

(-x^2)/2 

Ableitung: -2x/2 = -x 

-1 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 



Algorithmus 5.2.3 (Randomisiertes Runden für k-Matching). 

Eingabe: H = (V, E ) Hypergraph, k ∈ N0, ε ∈ (0, 1) 

Ausgabe: Inzidenzvektor einer (Hyper-)Kantenmenge E0 ⊆ E 

1: A ← Knoten-Kanten-Inzidenzmatrix von H 

2: Löse das LP 

m� 

max xi u.d.N. Ax ≤ k ∧ 0 ≤ x ≤ 1 

i=1 

und erhalte Optimallösung x ∗ mit Wert � x ∗ i =: OPT ∗ . 

3: Erhalte Vektor x R aus x ∗ durch unabhängiges Runden: P[X R i = 1] = (1 − ε 

2 )x∗ i , 

P[X R i = 0] = 1 − (1 − ε 

2 )x∗ i für alle i = 1, ..., m. 

4: Ausgabe: Vektor x R = (x R 1 , ..., x R m). 

Rechnungen aus dem Beweis von Satz 5.2.4: 

Zu (1): [...] 

Für i ∈ [n] gilt E[(AxR )i] ≤ (1 − ε)k. 

Mit 

2 

δ := (1 − ε 

2 )k − E[(AxR )i] und X := (Ax R )i + δ 

gilt also δ ≥ 0 und E[X ] = (1 − ε 

2 )k. 

[...] 

Es gilt mit β := ε 

2−ε 

Es folgt 

β 2 E[X ] 

3 

= 1 ε 

3 

2 ε 1 ε 

(1 − )k = 

(2 − ε) 2 2 6 

2 

1 ε 

(2 − ε)k = 

(2 − ε) 2 6 

2 

2 − ε k. 

exp − β2E[X ] 

≤ 

3 

1 

4n 

⇔ − β2E[X ] 

≤ − ln(4n) 

3 

⇔ 

β2E[X ] 

≥ ln(4n) 

3 

⇔ 

1 ε 

6 

2 

k ≥ ln(4n) 

2 − ε 

⇔ 

6(2 − ε) ln(4n) 

k ≥ 

ε2 . 



[...] 

Zu (2): Mit X ′ := � m i=1 X R i gilt 

Mit β = ε 

2−ε 

gilt also 

E[X ′ ] = � 

1 − ε � �m 

x 

2 

∗ i = � 

1 − ε � 

OPT 

2 

∗ . 

(1 − β)E[X ′ ] = 

2 − 2ε 

2 − ε 

i=1 

· 2 − ε 

2 

· OPT ∗ = (1 − ε)OPT ∗ . 

Wir erhalten mit der Angluin-Valiant-Ungleichung (Kor. 4.0.11): 

P � 

X ′ ≤ (1 − ε)OPT ∗� 

= P � 

X ′ ≤ (1 − β)E[X ′ ] � 

≤ 

� 

exp − β2E[X ′ ⎛ 

� 

� �2� ε 

] ⎜ 1 − 2−ε 

= exp ⎝− 

2 

ε 

� 

OPT 2 

∗ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

= exp 

� 

− ε2OPT ∗ 

� 

4(2 − ε) 

� �� 

falls hier „≤ − ln(4)“, dann fertig! 

. 

Weil H mindestens k Kanten hat, ist 

Also gilt 

OPT ∗ ≥ k ≥ 

6(2 − ε) ln(4n) 

ε 2 

ε2OPT ∗ 

4(2 − ε) ≥ ε26(2 − ε) ln(4) 

4(2 − ε)ε2 ≥ 

6(2 − ε) ln(4) 

ε2 . 

= 3 

ln(4) ≥ ln(4). 

2 



Algorithmus 5.3.7 (Rand. Runden bei MSVC (Feige, Lovász, Tetali 2004)). 

Eingabe: G = (V, E) Graph 

Ausgabe: Reihenfolge der Knoten in V 

Phase 0: Vorbereitungen 

1: Berechne einen Lösungsvektor (x T , y T ) T des LPs 

min � �nt=1 e∈E yet 

�ni=1 xit ≤ 1 f.a. t ∈ [n] 

y{i,j}t ≥ 1 − � 

t ′


Beispiel 5.3.8 (Ein sehr einfaches Beispiel). 

v2 

v1 

Phase 0 

v4 • eine opt. Reihenfolge : 1, 3, 2, 4 

v3 

� 

e 

� 

t yOPT et = 3 

• eine Algo-Reihenfolge : 1, 2, 3, 4 (siehe Tabellen) 

Summe der Überdeckungszeitpunkte = 4 

xit v1 v2 v3 v4 

t = 1 

t = 2 

t = 3 

1 

2 

0 

0 

1 

2 

0 

0 

0 

1 

2 

0 

0 

1 

2 

0 

t = 4 0 0 0 0 

Phase 1 

zit v1 v2 v3 v4 

t = 1 1 1 0 0 

t = 2 0 0 1 1 

t = 3 0 0 0 0 

t = 4 0 0 0 0 

Satz 5.3.9 ([FLT04]). Mit ¯x und der LP-Lösung y in Algorithmus 5.3.7 und 

⎧ 

⎨1 

Kante e ist vor Slot s im Zeitfenster t noch nicht überdeckt 

¯yets := 

⎩0 

sonst 

für e ∈ E, t ∈ [n] und s ∈ [st] gilt 

⎡ 

E ⎣ � 

⎤ 

� � 

¯yets 

⎦ 

e∈E t∈[n] s∈st 

! 

≤ 2 · � � 

yet 

e∈E t∈[n] 

o.k. 

≤ 2 · � 

� 

y 

e∈E t∈[n] 

OPT 

et , 

wobei y OPT ein optimale Lösung des ILP aus Beobachtung 5.3.6 sei. 

Beweis: Wir brachen für den Beweis zuerst einige Definitionen und technische Einzelheiten, 

die wir am Ende zusammensetzen: 

Für e ∈ E, t ∈ [n] und s ∈ [st] definiere die Ereignisse 

Aet := Kante e ist vor Zeitfenster t nicht überdeckt 

Bets := Kante e ist vor Slot s in Zeitfenster t nicht überdeckt 

und für den Fall, dass Aet eingetreten ist, definiere die Zufallsvariablen 

Wet := # Slots in Zeitfenster t, vor denen e noch nicht überdeckt 

Ret := # Knoten k außer den Endknoten von e, deren 

zugehörige Variable ¯xkt in Zeitfenster t auf 1 gerundet wird 

Wir berechnen E[Wet]: Mit der 0-1-Zufallsvariable 

⎧ 

⎨1 

Ereignis Bets tritt ein 

�Bets := 

⎩0 

sonst 



gilt unter der Bedingung, dass Aet eingetreten ist, die Gleichheit Wet = � 

s∈[st] �Bets. 

Folglich ist 

E[Wet] = E � � � 

= � 

P[�Bets = 1|Aet] = � 

P[Bets|Aet]. 

Nun gilt 

E � � � � � 

¯yets 


s∈[st] 

�Bets|Aet 

s∈[st] 

s∈[st] 

= � � � 

E[¯yets] = 


� � � 

P[¯yets = 1] 

= 


� � � 

P[Aet ∩ Bets] = 


� � � 

P[Aet]P[Bets|Aet] 

= 


� � 

P[Aet] 

e∈E t∈[n] 

� 

P[Bets|Aet] = 

s∈st 

� � 

P[Aet] 

e∈E t∈[n] 

� 

E[Wet] 

s∈st 

Wir zeigen die folgenden zwei Aussagen, die die dann Behauptung direkt implizieren: 

(1) P[Aet] ≤ yet 

(2) E[Wet] ≤ 2. 

→ Übungsaufgabe 9.3, 

Um E[Wet] abzuschätzen, werden wir E[Ret] benutzen. Berechnen wir also zuerst 

letzteres. Dazu sei e = {i, j} und x sei der Vektor aus der LP-Lösung, mit Hilfe derer 

die „Zeitfensterwahrscheinlichkeiten“ zkt berechnet wurden. Nun gilt 

E[Ret] = E � � � 

¯xkt = 

k∈[n], k�=i,j 

� 

E[¯xkt] = 

k∈[n], k�=i,j 

� 

P[¯xkt = 1] 

k∈[n], k�=i,j 

= 

� 

zkt 

Def. der zkt 

≤ 2 · 

k∈[n], k�=i,j 

� 

xkt ≤ 2 

k∈[n], k�=i,j 

� �� 

≤1 

� 

Nun zu E[Wet]. Das Ereignis Aet sei eingetreten (die Kante e ist also vor Zeitfenster t 

noch nicht überdeckt). Wieder sei e = {i, j}. 

1. Fall: Die Kante e wird auch im Zeitfenster t nicht überdeckt, d.h. ¯xit = ¯xjt = 0. In 

diesem Fall gilt Ret = st = Wet. Insbesondere haben wir E[Wet] = E[Ret] ≤ 2. 

2. Fall: Die Kante e wird im Zeitfenster t überdeckt, weil genau einer der Endknoten 

i oder j im Zeitfenster t einen Slot zugewiesen bekommt, d.h. o.E. gelte ¯xit = 1 

und ¯xjt = 0. In diesem Fall ist Ret = st − 1. Also werden im Algorithmus im t-ten 

Zeitfenster st − 1 Slots auf Knoten verteilt, die mit e nichts zu tun haben, und ein 

Slot wird Knoten i zugewiesen (und damit e überdeckt). Die Anzahl der Knoten, die 

der Reihe nach auf die Slots verteilt werden, bevor i an die Reihe kommt, beträgt 

also im Erwartungswert E[st−1] 

(selber klarmachen, hier geht die Gleichverteilung der 

2 

Slots auf die Knoten mit gleichem Zeitfenster ein). Vor diesen erwartet E[Ret] 

Slots ist 

2 

e nicht überdeckt und vor dem Slot, dem i zugewiesen wird, ist e auch noch nicht 

+ 1 ≤ 2. 

überdeckt. Demnach gilt E[Wet] = E[Ret] 

2 



3. Fall: Die Kante e wird im Zeitfenster t überdeckt, weil sowohl i als auch j im 

Zeitfenster t einen Slot zugewiesen bekommt; m.a.W.: Es gilt ¯xit = 1 = ¯xjt. In diesem 

Fall gilt Ret = st − 2. Also werden im Algorithmus im t-ten Zeitfenster st − 2 Slots 

auf Knoten verteilt, die mit e nichts zu tun haben, und je ein Slot wird Knoten i bzw. 

j zugewiesen (und damit e überdeckt). Die Anzahl der Knoten, die der Reihe nach 

auf die Slots verteilt werden, bevor i oder j an die Reihe kommt, beträgt also im 

Erwartungswert E[st−2] 

(wieder selber klarmachen). Vor diesen erwartet E[Ret] 

Slots ist 

3 

e nicht überdeckt und vor dem ersten Slot, dem i oder j zugewiesen wird, ist e auch 

≤ 2. ✷ 

noch nicht überdeckt. Demnach gilt E[Wet] = 1 + E[Ret] 

3 

Bemerkungen zur Definition von Wet: 

Nehmen wir an, in der Definition von Wet nicht „vor“, sondern „in“. Dann gilt: 

– Die Gleichheit E[Wet] = � 

s∈[st] P[Bets|Aet] nicht i.A. mehr gegeben. Insofern würde 

Wet nicht mehr helfen. 

– Der Beweis von E[Wet] wäre leichter, weil man in den Fällen 2 und 3 direkt 

Ret = st − 1 ≥ Wet bzw. Ret = st − 2 ≥ Wet hätte (das war Tims Vorschlag). 

Insofern ist es schade, dass Wet anders definiert werden muss. 


3


Definition und Algorithmus 5.4.4. Wir definieren im Spezialfall 5.4.3 eine Wahrscheinlichkeitsverteilung 

auf {0, 1} n durch folgenden Zufallsprozess: 

1: x R ← x 

2: while x R /∈ {0, 1} n do 

3: ℓ ← Binärlänge von x R 

4: Zerlege x R in x R = x ′ + 2 −l+1 x ′′ so, dass x ′′ ∈ {0, 1 

2 }n und x ′ Binärlänge 

höchstens ℓ − 1 hat. 

5: for i ∈ [m] do 

6: Ei ← {j ∈ [n] : x ′′ 

j = 1 

2 ∧ bij = 1} 

7: Teile Ei (etwa in der Reihefolge der Indizes) in Paare auf 

8: for (j1, j2) Paar in Ei do 

9: Runde (x ′′ 

j1 

10: end for 

11: end for 

12: x R ← x ′ + 2 −l+1 x ′′ 

13: end while 

14: Gib x R aus. 

, x′′ 

j2 

) auf (1, 0) oder (0, 1) durch fairen Münzwurf 

Lemma 5.4.5. Das Verfahren in Algorithmus 5.4.4 terminiert, weil in jedem Schritt 

die Mengen Ei gerade Kardinalität haben. Dies folgt aus Bx = b ∈ Z n . 

Beweis: Wir zeigen, dass im ersten Rundungsschritt alle Zahlen |Ei| gerade sind. Wenn 

das stimmt, gilt nach der ersten Rundung weiterhin Bx R = b und das gleiche Argument 

kann sukzessive wiederholt werden. 

Sei also x = x ′ + 2−l+1x ′′ so, dass x ′′ ∈ {0, 1 

2 }n und x ′ Binärlänge höchstens ℓ − 1 hat. 

Für i ∈ [m] haben wir im ersten Rundungsschritt Ei = {j ∈ [n] : x ′′ 

j = 1 

2 ∧ bij = 1} 

und setzen E ′ i := {j ∈ [n] : x ′′ 

j = 0 ∧ bij = 1}. 

Nun gilt 

(Bx)i = � 

j∈Ei∪E ′ i 

xj = � 

j∈E ′ i 

x ′ j + � 

j∈Ei 

(x ′ j + 2 −l ) = � 

j∈Ei∪E ′ i 

x ′ j + |Ei|2 −l . 

Da der erste Summand � 

j∈Ei∪E ′ i x′ j eine Zahl mit Binärlänge höchstens ℓ − 1 ist, kann 

(Bx)i nur ganzzahlig sein kann, wenn auch |Ei|2 −l Binärlänge höchstens ℓ − 1 hat. 

Dies gilt genau dann, wenn |Ei| gerade ist. 



Algorithmus 5.5.5. Runde x durch folgenden deterministischen Prozess schrittweise 

zu einem 0-1-Vektor: 

1: xR ← x 

2: while xR /∈ {0, 1} n do 

3: J ← {j ∈ [n] : xR j /∈ {0, 1}} 

4: I ← {i ∈ [m] : � 

j∈J |bij| > �B�1} 

5: if I = ∅ then 

6: Runde die J-Einträge von xR beliebig auf 0 oder 1 (z.B. alle auf 1) 

7: else 

8: Finde Lsg. z �= 0 des LGS � 

B|I×Jz|J = 0 ∧ z|[n]\J = 0 � 

. 

9: Finde λ > 0, sodass xR + λz ∈ [0, 1] n und 

10: mindestens ein Eintrag von (xR + λz)|J ganzzahlig ist 

11: xR ← xR + λz 

12: end if 

13: end while 

14: Gib xR aus. 



Algorithmus 6.1.7 (MaxCut-Algorithmus von Goemanns und Williamson (1994)). 

Eingabe: G = (V, E) Graph 

Ausgabe: Partition V1 ·∪V2 von V 

1: Löse die Vektorrelaxierung (VR) und erhalte eine Menge von Vektoren {v1, . . . , vn}. 

2: Wähle (gleichverteilt) einen zufälligen Vektor c ∈ Bn. 

3: V1 ← {i ∈ V : c T vi ≥ 0}, V2 ← {i ∈ V : c T vi < 0} 

4: Gib V1, V2 aus. 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

Das Minimum von 2/pi * x/(1-cos(x)) 

2/pi * x/(1-cos(x)) 

.8785 

Hilfe bei der Min.-Suche: Wo ist cos(x)+x*sin(x)=1 ? 

x=2.3311 

x=2.3312 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 



In (VR) aus Definition und Beobachtung 6.1.5 findet sich eine allgemeine Struktur, 

die sich zu sog. semidefiniten Programmen verallgemeinern lässt. Dazu folgen jetzt ein 

paar Details: 

Erinnerung 6.1.12 (... aus der linearen Algebra). Sei A ∈ R n×n symmetrisch (d.h. 

A T = A). Dann heißt A positiv semidefinit (symbolisch A � 0), falls x T Ax ≥ 0 für 

alle x ∈ R n . 

Die folgenden Aussagen sind äquivalent (ohne Beweis): 

(i) A positiv semidefinit (A � 0). 

(ii) Alle (auch komplexen) Eigenwerte von A sind reell und nichtnegativ. 

(iii) Es gibt B ∈ R n×n mit A = B T B (sog. Cholesky-Zerlegung). 

Was hat das mit uns zu tun? 

Beobachtung 6.1.13. Seien v1, . . . , vn ∈ Rn . Für B = � 

v1 v2 . . . 

� 

vn ∈ Rn×n gilt 

B T ⎡ 

v 

⎢ 

B = ⎢ 

⎣ 

T 1 

. 

vT ⎤ 

⎥ � 

⎥ 

⎦ v1 v2 . . . 

⎡ 

v 

� ⎢ 

vn = ⎢ 

⎣ 

n 

T 1 v1 . . . vT . 

. .. 

1 vn 

. 

vnT v1 . . . vT ⎤ 

⎥ 

⎦ 

n vn 

ist positiv semidefinit mit Einträgen der Form v T i vj. 

Umgekehrt: Jede positiv semidefinite Matrix kann in dieser Form geschrieben werden, 

insbesondere haben die Einträge die Form v T i vj für passende v1, . . . , vn ∈ R n . 

Korollar 6.1.14. Das Programm (VR) aus 6.1.5 läßt sich äquivalent schreiben als 

Wegen 

max � 

{i,j}∈E 

1 − yij 

2 

max � 

{i,j}∈E 

1 − yij 

2 

Y = (yij)ij symmetrisch und Y � 0 

= max 

yii = 1 f.a. i ∈ [n]. 

⎛ 

⎝ |E| 

2 

− 1 

2 

� 

{i,j}∈E 

yij 

⎞ 

⎠ = |E| 

2 

kann man also alternativ das folgende Programm lösen: 

min � 

{i,j}∈E 

1 � 

− min yij 

2 {i,j}∈E 

yij u.d.N. Y symm., Y � 0, yii = 1 f.a. i ∈ [n] . (∗) 

Beobachtung 6.1.15. Wenn man eine optimale Matrix Y ∗ für (∗) kennt, muss 

man noch eine Cholesky-Zerlegung Y ∗ = B T B berechnen, um an die in Algorithmus 

6.1.7 nötigen Vektoren v1, . . . , vn zu gelangen. Die klassischen Zerlegungsalgorithmen 

arbeiten mit Quadratwurzeln. Bei endlicher Codierung von Zahlen kann man sie so 

umsetzen, dass für jedes ε > 0 eine Zerlegung BT B mit |(BT B)ij − Y ∗ 

ij| < ε für alle 

i, j ∈ [n] berechnet wird und die Laufzeit polynomiell in size(Y ∗ ) und (log2( 1) 

+ 1) ist. 

ε 



Definition 6.1.16 (Semidefinites Programm (SDP)). Ein semidefinites Programm 

(SDP) ist eine Optimierungsaufgabe der Form 

max / min � 

i,j∈[n] 

cijyij 


� 

i,j∈[n] 

� 

i,j∈[n] 

a (1) 

ij yij ≤ b1 

. 

a (m) 

ij yij ≤ bm 

mit passenden symm. n×n-Matrizen C, A (1) , . . . , A (m) und b ∈ R m . Bis auf die Bedingung 

Y � 0 handelt es sich also um ein spezielles lineares Programm (denn Symmetrie 

von Y lässt sich durch lineare (Un-)Gleichungen ausdrücken). 

Bemerkung 6.1.17. Für symmetrische A, B gilt 

� 

i,j∈[n] 

aijbij = � 

i∈[n] j∈[n] 

� 

aijbji 

= � 

(AB)ii = Spur(AB) =: 〈A, B〉 

i∈[n] 

Damit kann man ein SDP wie in Definition 6.1.16 auch so schreiben: 

Das ist eine übliche SDP-Notation. 

max / min 〈C, Y 〉 


〈A (1) , Y 〉 ≤ b1 

. 

〈A (m) , Y 〉 ≤ bm 

Bemerkung 6.1.18. Semidefinite Programme können in polynomieller Zeit beliebig 

genau approximiert werden. Genauer: Für jedes ε gibt es einen polynomiellen Algorithmus 

A , der ein semidefinites Programm P bis auf einen additiven Fehler von 

höchstens ε exakt löst und eine Laufzeit hat, die polynomiell in size(P ) und (log2( 1 

ε )+1) 

ist. 

In der Vorlesung werden wir dieses Resultat ohne Beweis benutzen. Genaueres dazu 

findet sich in der Literatur, z.B. im Buch von Corte&Vygen (siehe die Kapitel über 

MaxCut bzw. über die Ellipsoidmethode). 



Algorithmus 6.2.9 (MaxBisect-Algorithmus (Frieze & Jerrum, 1997)). 

Eingabe: G = (V, E) Graph mit n gerade, ε ≤ 0.01 

Ausgabe: Bipartition W ·∪(V \ W ) von V 

1: Löse die (VR)B und erhalte {v1, . . . , vn} ⊆ Bn. 

2: W ← NIL, BestValueFound ← ∞, K ← ⌈ε −1 ln(ε −1 )⌉ 

3: for i ∈ [K] do 

4: Erzeuge Partition V1 ·∪V2 von V wie Algorithmus 6.1.7 (2-4) 

5: if V1 ·∪V2 ist Bipartition then Wi ← V1 

6: else 

7: W ′ 

i ← größere der beiden Mengen V1, V2 

8: Sortiere die Knoten in W ′ 

i absteigend nach ζW ′ i (·), 

9: also W ′ 

i = {w1, . . . , wℓ} mit ζW ′ i (w1) ≥ . . . ≥ ζW ′ i (wℓ). 

10: Wi ← {w1, . . . , wn/2} 

11: end if 

12: if δ(Wi, V \ Wi) < BestValueFound then 

13: BestValueFound ← δ(Wi, V \ Wi), W ← Wi 

14: end if 

15: end for 

16: Gib (W, V \ W ) aus. 



6.3 Graphenfärbungen für 3-färbbare Graphen 

Abmachung 6.3.1. Im Folgenden habe G mindestens eine Kante. 

Definition 6.3.2. Ein Graph G = (V, E) heißt k-färbbar, falls es f : V → [k] gibt 

mit 

f(v) �= f(w) f.a. {v, w} ∈ E. 

In diesem Fall heißt f auch k-Färbung. 

Die Zahl 

heißt chromatische Zahl von G 

χ(G) := min{k ∈ N : G ist k-färbbar} 


(a) 

(b) 

(c) 

Bemerkung 6.3.4. Anwendungen gibt es z.B. bei Stundenplanproblemen: 

Knoten ↔ Kurse 

Kanten ↔ Kurspaare, die nicht gleichzeitig stattfinden können 

Farbklasse ↔ Menge von Kursen, die gleichzeitig stattfinden können 

Problem 6.3.5 (ChromaticNumber). 

Gegeben: Graph G = (V, E), k ∈ N 

Frage: Gilt χ(G) ≤ k? 

Proposition 6.3.6. ChromaticNumber ∈ N PC. (Ohne Beweis.) 

Bemerkung und Plan 6.3.7. 

• Wir wollen jetzt Färbungen für 3-färbbare Graphen konstruieren. 



• Es gibt dafür einen deterministischen Algorithmus von Wigderson, der mit 

O(n 1/2 ) Farben auskommt. 

• Wir lernen in diesem Abschnitt einen SDP-basierten, randomisierten Algorithmus 

kennen, der mit Wahrscheinlichkeit mindestens 1/2 erfolgreich färbt und mit 

O(n log 3−ε 2 ) Farben auskommt. 

• Man kann beide Algorithmen kombinieren, um einen Algorithmus zu bauen, 

der Wahrscheinlichkeit mindestens 1/2 erfolgreich färbt und mit O(n 0.4 ) Farben 

auskommt. → Übung (Blatt 11) 

f(x) 

1 

0.9 

0.8 

0.7 

f(x) = log_{3-x}(2) = log(2)/log(3-x) 

0.6 

0 0.25 0.5 0.75 1 

Definition 6.3.8 (a-Vektorfärbung). Seien G = (V, E) ein Graph und a > 1. Eine 

Abbildung F : V → Bn heißt a-Vektorfärbung, falls 

cos (∡ (F (v), F (w))) o.k. 

= F (v) T F (w) ! 

≤ − 1 

a − 1 . 

für alle {v, w} ∈ E. 

x 


(a) 

(b) 



Satz 6.3.10. Wenn G ein k-färbbarer Graph ist, so gibt es auch eine k-Vektorfärbung 

für G. 

Beweisskizze: � 

Beobachtung 6.3.11. Die Suche nach einer a-Vektorfärbung für G = ([n], E) mit 

durch x substituiert wird: 

kleinstmöglichem a lässt sich als SDP schreiben, indem − 1 

a−1 

min x 

v T i vj ≤ x f.a. {i, j} ∈ E 

v1, . . . , vn ∈ Bn 

x ∈ R 

(V R)F 

Proposition 6.3.12. Sei G ein Graph, sei x∗ = − 1 der Optimalwert von (V R)F 

a−1 

und sei 0 < ε0 < 1. Dann kann eine (a+ε0)-Vektorfärbung von G in polynomieller Zeit 

1 

(polynomiell abhängig von n, m, k und log2 + 1) berechnet werden. (Ohne Beweis, 

ε0 

vgl. Bemerkung 6.1.18.) 

Bevor wir den angekündigten Algorithmus mit den zugehörigen Approximationsresultaten 

hinschreiben können, wählen wir noch ein paar Zahlen auf bestimmte 

Weise: 

Abmachung und Beobachtung 6.3.13. 

Wähle/Setze... Wozu? 

Wähle 0 < ε < 1 fest. Ziel: O(n log 3−ε 2 ) Farben 

α := 1 1 − 3−ε 3 

Wähle 1 > ε0 > 0 so, dass 

1 ∈ ]0, [ „Nur“ Hilfsgröße 

6 

1 

π arccos 

� 

− 1 

� 

≥ 

2 + ε0 

2 

3 −α. 

Das geht, siehe Bild! 

∆ := Maximalgrad von G 

Algorithmus startet mit (3 + ε0)-Vektorfärbung; 

Analyse benötigt die Ungleichung 

r := ⌊1 + log 3−ε ∆⌋ Der Algorithmus soll maximal 2 r Farben benutzen 



Beachte: Mit einer Nebenrechnung (N.R.) sieht man: 

2 r ≤ 2 1+log 3−ε ∆ = 2 · 2 log 3−ε ∆ N.R. 

= 2 · ∆ log 3−ε 2 = O(n log 3−ε 2 ). 

Nebenrechnung: Für alle x, y, z > 0 gilt 

x log z y = z log z (xlog z y ) = z (log z y) (log z x) = z log z (y log z x ) = y log z x . 

1 

0.75 

0.5 

0.25 

Algorithmus 6.3.14 (SDP-Teilfärbung). 

y 

arccos(x) / pi 

0 

-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 

Eingabe: 3-färbbarer Graph G = (V, E) 

Ausgabe: Zulässige Teilfärbung (Färbung auf einer Teilmenge der Knoten). 

1: Berechne eine (3 + ε0)-Vektorfärbung v1, . . . , vn von G. 

2: Ziehe zufällig und unabhängig gleichverteilt Vektoren c1, . . . , cr ∈ Bn. 

3: Seien R1, . . . , R2 r die Bereiche, in die die Hyperebenen c⊥ 1 , . . . , c ⊥ r den Raum R n 

unterteilen. Färbe alle Knoten aus Rs mit einer noch nicht benutzten Farbe cs für 

s = 1, . . . , 2 r . 

4: Gehe die Knoten v aus V der Reihe nach durch und entferne die Farbe von v, 

falls v ungültig gefärbt ist (also ein Nachbar mit gleicher Farbe existiert). 

5: Gib die gefundene Teilfärbung aus. 

Satz 6.3.15. 

(a) Algorithmus 6.3.14 kann in polynomieller Zeit ausgeführt werden und benötigt 

höchstens 2 · ∆ log 3−ε 2 = O(n log 3−ε 2 ) Farben. 

(b) Für einen 3-färbbaren Graphen G gilt: Mit Wahrscheinlichkeit mindestens 1/2 

findet der Algorithmus eine Teilfärbung auf mindestens n/2 Knoten. 

Den Beweis dafür geben wir erst später. Zuerst sehen wir uns an, wie man Algorithmus 

6.3.14 nutzen kann, um iterativ (mit hoher Wahrscheinlichkeit) eine Färbung 

aller Knoten zu berechnen: 


x


Algorithmus 6.3.16 (Iterative Färbung). 

Eingabe: 3-färbbarer Graph G = (V, E) 

Ausgabe: Zulässige Teilfärbung von G. 

1: farblos ← V 

2: for i = 1 upto ⌈log 2 n⌉ do 

3: Lasse Algorithmus 6.3.14 auf G[farblos] laufen, 

4: verwende dabei in vorherigen Durchläufen 

5: noch nicht benutzte Farben. 

6: farbig i ← im aktuellen Durchlauf gefärbte Knoten 

7: farblos ← farblos \ farbig i 

8: end for 

9: Gib die gefundene Teilfärbung aus. 

Satz 6.3.17. 

(a) Unter der Bedingung, dass in jedem Durchlauf der for-Schleife mindestens die 

Hälfte der bis dahin ungefärbten Knoten gefärbt wird, verwendet Algorithmus 6.3.16 

ebenfalls höchstens O(n log 3−ε 2 ) viele Farben. 

Für einen 3-färbbaren Graphen G gilt: 

(b) Die Wahrscheinlichkeit, dass der Algorithmus auf G sogar eine Färbung aller 

Knoten findet, ist mindestens 1/n. 

(c) Es gibt eine Konstante r, sodass nach rn-maliger Anwendung von Algorithmus 

6.3.16 auf G mit Wahrscheinlichkeit mindestens 1/2 eine Färbung aller 

Knoten gefunden wurde, die höchstens 1/2 eine Färbung aller Knoten gefunden 

wurde, die höchstens O(n log 3−ε 2 ) viele Farben benutzt. 

Insbesondere hat man so einen Algorithmus, der in polynomieller Zeit (polynomiell 

1 

abhängig von n, m, k und log2 +1) terminiert und mit Wahrscheinlichkeit mindestens 

ε0 

1/2 eine Färbung aller Knoten mit maximal O(nlog3−ε 2 ) vielen Farben ausgibt. 

Beweis: Übung! (Blatt 11) 

Nun fehlt noch der Beweis von Satz 6.3.15. � 



7.1 Die Klasse P CP (r(n), q(n)) 

Erinnerung 7.1.1. Ein Entscheidungsproblem Π liegt in N P, falls es eine „Maschine“ 

der folgenden Bauweise gibt, die für jede Instanz I für Π folgendes leistet: Falls I ∈ Π, 

so gibt sie „Ja“ für mindestens ein Zertifikat aus, falls I /∈ Π, so gibt sie „Nein“ für 

jedes Zertifikat aus. 

Instanz I 

0100110100... 

size = n 

☞ 

Algorithmus 

poly(n) Operationen 

Zertifikat Z 

10100000000... 

size : poly(n) 

Ausgabe 

� Ja 

� Nein 

Definition 7.1.2. Zum Entscheidungsproblem Π gibt es einen (r(n), q(n))-beschränkten 

Verifyer, falls es eine „Maschine“ der folgenden Bauweise gibt: 

☞ 

Zertifikat Z 

10100000000... 

size : poly(n) 

Zufallsgenerator 

Instanz I 

0100110100... 

size = n 

Abfrage einzelner 

Z-Einträge 

Ausleser 

O(q(n)) Operationen 

Zufallsfolge 

0100111001... 

size : O(r(n)) 

Algorithmus 

poly(n) Operationen 

Zufallsabh. 

Teilzertifikat 

0001001001... 

size : O(q(n)) 

Ausgabe 

� Ja 

� Nein 

Der Ausleser berechnet eine nur eine 

Menge von Stellenindizes und darf 

dabei die Zufallsfolge verwenden (muss 

aber nicht). Diese Stellen werden dann 

aus dem Zertifikat ausgelesen. 

Die zu O(r(n)) und O(q(n)) gehörigen Konstanten sind dabei bekannter Teil der 

„Maschine“. 

Beispiel: Wie groß sollte r(n) sein, um eine zufällige Stelle aus dem Zertifikat auszulesen? 

— Man kann eine Zufallsfolge der Länge O(log n) als Binärdarstellung eines 

Stellenindexes auffassen und so sogar gleichverteilt eine Zufallsstelle aus Z auslesen. 

Vorsicht: Noch haben wir keine Aussage darüber getroffen, ob bzw. wie häufig die 

Maschine eine richtige Antwort liefert! 



7.3 Nicht-Approximierbarkeit von Max-3-SAT 

Definition 7.3.1. 

(a) Für eine Boolsche Variable x (d.h. x kann genau die Werte „wahr“ und „falsch“ 

annehmen) heißen x und x Literale; hierbei ist x die Verneinung von x. 

(b) Eine Klausel C ist ein Ausdruck der Form C = � 

i∈I zi, wobei I eine endliche 

Menge ist und zi ein Literal für alle i ∈ I. 

Beispiel: Der Ausdruck (x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨ x4 ∨ x5) ist eine Klausel. 

(c) Eine SAT-Formel in CNF (conjunctive normal form) ist ein Ausdruck der Form 

� 

j∈J Cj, wobei J eine endliche Menge ist und Cj eine Klausel für alle j ∈ J. 

Beispiel: Der Ausdruck (x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨ x4 ∨ x5) ∧ (x1 ∨ x2) ∧ (x2 ∨ x4 ∨ x5) ist eine 

SAT-Formel in CNF. 

(d) Eine SAT-Formel F in CNF heißt erfüllbar, falls es eine Belegung der Variablen, 

die in den Literalen von F benutzt werden, mit wahr-falsch-Werten gibt, sodass 

Einsetzen in F den Wert „wahr“ ergibt; eine solche Belegung heißt auch erfüllende 

Belegung. 

Definition 7.3.2. Eine 3-SAT-Formel F ist eine SAT-Formel in CNF, in der jede 

Klausel genau drei Literale hat. 

Beispiel: Der Ausdruck (x1∨x2∨x3)∧(x1∨x2∨x4)∧(x2∨x4∨x5) ist eine 3-SAT-Formel. 

Jede Klausel mit mehr als drei Literalen kann zu einer „äquivalenten“ 3-SAT-Formel 

gemacht werden: 

Lemma 7.3.3 (korrigierte Version). Seien k ≥ 4, x1, . . . , xk Boolsche Variablen und 

zi ∈ {xi, xi} für i ∈ [k]. Betrachte die Klausel C = (z1 ∨ . . . ∨ zk) und wähle neue 

Boolsche Variablen u1, . . . , uk−3. Setze C ′ := (z1 ∨ z2 ∨ u1) ∧ (z3 ∨ u1 ∨ u2) ∧ (z4 ∨ u2 ∨ 

u3) ∧ . . . ∧ (zk−2 ∨ uk−4 ∨ uk−3) ∧ (zk−1 ∨ zk ∨ uk−3). 

Für eine Belegung X der Variablen x1, . . . , xk mit wahr-falsch-Werten sind nun äquivalent: 

(i) Einsetzen von X in C ergibt „wahr“. 

(ii) Es gibt eine Belegung U der Variablen u1, . . . , uk−3 mit wahr-falsch-Werten, 

sodass Einsetzen von X und U in C ′ den Wert „wahr“ ergibt. 

Beweis: � 



Proposition 7.3.4. Eine SAT-Formel F in CNF kann in polynomieller Zeit in eine 

3-SAT-Formel F ′ mit 

übersetzt werden. 

F erfüllbar ⇔ F ′ erfüllbar 

Beweis: � 

Problem 7.3.5. 

(a) SAT: 

Eingabe: SAT-Formel F in CNF 

Frage: Ist F erfüllbar? 

(b) 3-SAT: 

Eingabe: 3-SAT-Formel F 

Frage: Ist F erfüllbar? 

(c) Max-SAT: 

Eingabe: SAT-Formel F in CNF, k ∈ N 

Frage: Sind mindestens k Klauseln in F gleichzeitig erfüllbar? 

(d) Max-3-SAT: 

Eingabe: 3-SAT-Formel F in CNF, k ∈ N 

Frage: Sind mindestens k Klauseln in F gleichzeitig erfüllbar? 

Proposition 7.3.6. SAT, 3-SAT, Max-SAT, Max-3-SAT ∈ N PC. (Ohne Beweis.) 


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Kombinatorische Optimierung Approximation und Randomisierung ...

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