Kombinatorische Optimierung Approximation und Randomisierung ...

Handouts zur VL vom 03.06.2009 Stand dieser Sammlung: 17. Juli 2009
(3.2) � m i=1 zi = c(M )
(3.3) ( √ n · y, z) ist zulässig für (D), d.h. y ∈ R n ≥0, z ∈ R m ≥0 und
∀ i ∈ [m] : zi + √ n
n�
j=1
vj∈Si
yj ≥ c(Si) (∗2)
Daraus folgt dann die Güteschranke, denn für eine Optimallösung (y ∗ , z ∗ ) von (D)
gilt
c(MOPT)
Dualität und (∗1)
≤
(3.1), (3.2)
=
Es bleiben also noch (3.1), (3.2), (3.3) zu zeigen.
Aussage (3.1) rechnen wir nach:
n�
k · yj =
j=1
n�
j=1
⎛
k ⎜c(M
)
⎜
2k
⎝
n
n�
k · y
j=1
∗ m�
j + z
i=1
∗ (3.3)
i ≤ √ n�
m�
n k · yj + zi
j=1
i=1
√ √
n · c(M ) + c(M ) = ( n + 1) c(M ).
+ �
= 1
⎛
⎝n
c(M ) �
+
2 n S∈M
Aussage (3.2) ist offensichtlich.
S∈M
vj∈S
c(S)
|S|
|S| c(S)
|S|
⎞
⎟
⎠
⎞
⎛
1 ⎜
= ⎜
2
⎝
n�
j=1
⎠ = c(M ).
c(M )
n +
n�
j=1
�
S∈M
vj∈S
c(S)
|S|
Für (3.3) stellen wir fest, dass offensichtlich y ∈ R n ≥0 und z ∈ R m ≥0. Um (∗2) zu zeigen
sei i ′ ∈ [m]. Falls Si ′ ∈ M , so ist (∗2) klar, weil dann bereits zi ′ ≥ c(Si ′). Gelte nun
also S ′ := Si ′ /∈ M . Da in diesem Fall zi ′ = 0 gilt, bleibt zu zeigen
Dafür werden wir gleich zeigen, dass
n�
j=1
vj∈S ′
n�
j=1
vj∈S ′
yj ≥ c(S′ )
2
⎞
⎟
⎠
yj ≥ c(S′ )
√ n . (∗3)
� �
s k
+
nk s
mit noch zu definierendem s > 0. Eine einfache Kurvendiskussion zeigt, dass smin :=
√ n · k das eindeutige globale Minimum der Funktion
s ↦→ s k
+
nk s
B. Langfeld, A. Srivstav: Kombinatorische Optimierung (CAU, SoSe 2009) 18
(∗4)