Kombinatorische Optimierung Approximation und Randomisierung ...

Handouts zur VL vom 03.06.2009 Stand dieser Sammlung: 17. Juli 2009
Algorithmus 3.5.6 (Greedy-Algorithmus für Max-Weighted-k-Matching).
Eingabe: k ∈ N, Hypergraph (V, E ), Gewichte c : E → R≥0
Ausgabe: Ein k-Matching M von (V, E )
1: M ← ∅
2: Sortiere die Hyperkanten in E = {S1, . . . , Sm} so, dass
c(S1) √
|S1|
c(S2)
≥ √
|S2|
c(Sm)
≥ . . . ≥ √ .
|Sm|
3: for i from 1 to m do
4: if M ∪ {Si} ist k-Matching then M ← M ∪ {Si}
5: end if
6: end for
7: Gib M aus.
Beispiel 3.5.7. �
Satz 3.5.8 (Krysta 2005, siehe [Kry05]). Algorithmus 3.5.6 terminiert erfolgreich mit
höchstens O(n · m 2 ) Operationen (dabei gilt wie üblich die Setzung n := |V |, m := |E |).
Wenn MOPT ein Maximum-Weighted-k-Matching und M vom Algorithmus ausgegeben
ist, so gilt: c(MOPT) ≤ ( √ n + 1) · c(M ) oder anders geschrieben
c(MOPT)
√ n + 1 ≤ c(M ) ≤ c(MOPT).
Bemerkung 3.5.9. Die Gütegarantie ist im Vergleich zu den Gütegarantien für
andere Probleme aus der Vorlesung bisher in gewisser Weise die schlechteste. Aber
ein Faktor besser als √ n ist beweisbar „unwahrscheinlich“ (ohne Details; sonst gilt
„N P = ZPP“).
Später in der Vorlesung werden wir sehen, dass es einen Algorithmus für Max-k-
Matching gibt, der mit Hilfe des Zufalls arbeitet und eine wesentlich bessere erwartete
Approximationsgüte hat (allerdings unter der Nebenbedingung, dass k genügend groß
ist).
B. Langfeld, A. Srivstav: Kombinatorische Optimierung (CAU, SoSe 2009) 16