Kombinatorische Optimierung Approximation und Randomisierung ...

Handouts zur VL vom 11.05.2009 Stand dieser Sammlung: 17. Juli 2009
Definition 2.3.1 (korrigierte Fassung). Seien G = (V, E) ein Graph, T ⊆ V und
c : E → R≥0. Ein Steinerbaum B bezüglich (G, T ) heißt voll, falls jedes Terminal in
T Blatt von B ist.
Sei k ∈ N mit k ≥ 2. Eine Menge � = {B1, . . . , Bℓ} von Bäumen auf G heißt
k-Steinerbaum, falls gilt:
(1) Für alle i ∈ [ℓ] ist V (Bi) ∩ T ≤ k .
(2) Für alle i ∈ [ℓ] ist Bi voller Steinerbaum auf dem von V (Bi) in G induzierten
Graphen G[V (Bi)] mit induzierter Terminalmenge V (Bi) ∩ T .
(3) T ⊆ �
i∈[ℓ] V (Bi).
(4) Die Menge �
i∈[ℓ] E(Bi) ⊆ E induziert einen zusammenhängenden Graphen in G.
(5) Die Bi sind Terminal-zusammenhängend, d.h. der Subgraph �
i∈[ℓ] GT [V (Bi) ∩ T ]
vom Distanzgraphen GT ist zusammenhängend. Anders gesagt: Für jedes Paar
i, j ∈ [ℓ] gibt es eine Folge (i1, . . . , iℓ ′) von Indizes aus [ℓ] mit V (Bis) ∩ V (Bis+1) ∩
T �= ∅ für alle s ∈ {0, 1, . . . , ℓ ′ }, wobei i0 := i und iℓ+1 := j.
Das Gewicht von � ist definiert als
c(�) := �
c(Bi),
i∈[ℓ]
wobei hier tatsächlich Kanten mehrfach in die Summe eingehen können. Im Folgenden
bezeichne � (k)
OPT stets einen k-Steinerbaum minimalen Gewichtes.
Noch einige Bemerkungen zur Definition und zu Forderung (5):
– Die Bedingungen (3) und (4) implizieren, dass �
i∈[ℓ] Bi einen Steinerbaum enthält.
– Beobachtung von Jan K.: Ohne (5) wäre im Graphen
v1
v3
v2
v0
v4
ein optimaler 2-Steinerbaum durch die zwei Bäume B1, B2 definiert, die durch
{v0, v1, v2} und {v0, v3, v4} induziert werden. Der entsprechende Subgraph in GT ist
unzusammenhängend. Will man � = {B1, B2} zu einem 2-Steinerbaum mit (1)-(5)
erweitern, so muss man noch (mindestens) einen der Bäume dazunehmen, die durch
{v0, v1, v3} bzw. {v0, v2, v4} induziert werden.
– In [KV08, Abschnitt 20.2] wird (bis auf Benennung) die Definition ohne (5) gegeben,
allerdings folgen dann auch Aussagen, die ohne zusätzliche Annahmen nicht gelten
(etwa, dass die Klasse der Sterne zeigt, dass r2 = 2 (gemäß unserer Definition 3.2.4)).
Auch in anderen Skripten und Artikeln wird (5) nicht immer explizit gemacht.
– Die Definition mit Bedingung (5) findet sich (mit anderer Bezeichnung und etwas
verstreut) in [PS02, Kapitel 7].
– Ohne (5) wird auch der Beweis von Lemma 2.3.15 falsch: Ganz am Ende nutzen wir,
dass mst(GT /t1, . . . , ti, t ∗ 1, . . . , t ∗ ℓ) = 0. Dazu kann es (je nach Instanz) erforderlich
sein, dass die Vereinigung der Graphen GT [t ∗ 1], . . . , G[t ∗ ℓ] in GT zusammenhängend
ist.
B. Langfeld, A. Srivstav: Kombinatorische Optimierung (CAU, SoSe 2009) 12