Kombinatorische Optimierung Approximation und Randomisierung ...

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Handouts zur VL vom 06.07.2009 Stand dieser Sammlung: 17. Juli 2009 7.1 Die Klasse P CP (r(n), q(n)) Erinnerung 7.1.1. Ein Entscheidungsproblem Π liegt in N P, falls es eine „Maschine“ der folgenden Bauweise gibt, die für jede Instanz I für Π folgendes leistet: Falls I ∈ Π, so gibt sie „Ja“ für mindestens ein Zertifikat aus, falls I /∈ Π, so gibt sie „Nein“ für jedes Zertifikat aus. Instanz I 0100110100... size = n ☞ Algorithmus poly(n) Operationen Zertifikat Z 10100000000... size : poly(n) Ausgabe � Ja � Nein Definition 7.1.2. Zum Entscheidungsproblem Π gibt es einen (r(n), q(n))-beschränkten Verifyer, falls es eine „Maschine“ der folgenden Bauweise gibt: ☞ Zertifikat Z 10100000000... size : poly(n) Zufallsgenerator Instanz I 0100110100... size = n Abfrage einzelner Z-Einträge Ausleser O(q(n)) Operationen Zufallsfolge 0100111001... size : O(r(n)) Algorithmus poly(n) Operationen Zufallsabh. Teilzertifikat 0001001001... size : O(q(n)) Ausgabe � Ja � Nein Der Ausleser berechnet eine nur eine Menge von Stellenindizes und darf dabei die Zufallsfolge verwenden (muss aber nicht). Diese Stellen werden dann aus dem Zertifikat ausgelesen. Die zu O(r(n)) und O(q(n)) gehörigen Konstanten sind dabei bekannter Teil der „Maschine“. Beispiel: Wie groß sollte r(n) sein, um eine zufällige Stelle aus dem Zertifikat auszulesen? — Man kann eine Zufallsfolge der Länge O(log n) als Binärdarstellung eines Stellenindexes auffassen und so sogar gleichverteilt eine Zufallsstelle aus Z auslesen. Vorsicht: Noch haben wir keine Aussage darüber getroffen, ob bzw. wie häufig die Maschine eine richtige Antwort liefert! B. Langfeld, A. Srivstav: Kombinatorische Optimierung (CAU, SoSe 2009) 40
Handouts zur VL vom 13.07.2009 Stand dieser Sammlung: 17. Juli 2009 7.3 Nicht-Approximierbarkeit von Max-3-SAT Definition 7.3.1. (a) Für eine Boolsche Variable x (d.h. x kann genau die Werte „wahr“ und „falsch“ annehmen) heißen x und x Literale; hierbei ist x die Verneinung von x. (b) Eine Klausel C ist ein Ausdruck der Form C = � i∈I zi, wobei I eine endliche Menge ist und zi ein Literal für alle i ∈ I. Beispiel: Der Ausdruck (x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨ x4 ∨ x5) ist eine Klausel. (c) Eine SAT-Formel in CNF (conjunctive normal form) ist ein Ausdruck der Form � j∈J Cj, wobei J eine endliche Menge ist und Cj eine Klausel für alle j ∈ J. Beispiel: Der Ausdruck (x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨ x4 ∨ x5) ∧ (x1 ∨ x2) ∧ (x2 ∨ x4 ∨ x5) ist eine SAT-Formel in CNF. (d) Eine SAT-Formel F in CNF heißt erfüllbar, falls es eine Belegung der Variablen, die in den Literalen von F benutzt werden, mit wahr-falsch-Werten gibt, sodass Einsetzen in F den Wert „wahr“ ergibt; eine solche Belegung heißt auch erfüllende Belegung. Definition 7.3.2. Eine 3-SAT-Formel F ist eine SAT-Formel in CNF, in der jede Klausel genau drei Literale hat. Beispiel: Der Ausdruck (x1∨x2∨x3)∧(x1∨x2∨x4)∧(x2∨x4∨x5) ist eine 3-SAT-Formel. Jede Klausel mit mehr als drei Literalen kann zu einer „äquivalenten“ 3-SAT-Formel gemacht werden: Lemma 7.3.3 (korrigierte Version). Seien k ≥ 4, x1, . . . , xk Boolsche Variablen und zi ∈ {xi, xi} für i ∈ [k]. Betrachte die Klausel C = (z1 ∨ . . . ∨ zk) und wähle neue Boolsche Variablen u1, . . . , uk−3. Setze C ′ := (z1 ∨ z2 ∨ u1) ∧ (z3 ∨ u1 ∨ u2) ∧ (z4 ∨ u2 ∨ u3) ∧ . . . ∧ (zk−2 ∨ uk−4 ∨ uk−3) ∧ (zk−1 ∨ zk ∨ uk−3). Für eine Belegung X der Variablen x1, . . . , xk mit wahr-falsch-Werten sind nun äquivalent: (i) Einsetzen von X in C ergibt „wahr“. (ii) Es gibt eine Belegung U der Variablen u1, . . . , uk−3 mit wahr-falsch-Werten, sodass Einsetzen von X und U in C ′ den Wert „wahr“ ergibt. Beweis: � B. Langfeld, A. Srivstav: Kombinatorische Optimierung (CAU, SoSe 2009) 41
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Seite 3 und 4: Handouts zur VL vom 22.04.2009 Stan
Seite 39: Handouts zur VL vom 01.07.2009 Stan
Seite 43 und 44: Literatur Stand dieser Sammlung: 17

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