Kombinatorische Optimierung Approximation und Randomisierung ...

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Handouts zur VL vom 22.04.2009 Stand dieser Sammlung: 17. Juli 2009 Algorithmus 1.2.4 (Christofides-Algorithmus). Eingabe: Eine symmetrische TSP-Instanz (Kn, c) mit Dreieckungleichung. Ausgabe: TSP-Tour. 1: Berechne minimalen spannenden Baum S in (Kn, c). ⊲ z.B. mit Kruskal 2: Setze V ′ := {v ∈ V : deg S(v) ist ungerade}. 3: Berechne in (Kn, c) zwischen den Knoten aus V ′ ein perfektes Matching M mit minimalen Kosten. ⊲ z.B. mit Edmonds 4: Setze G ∗ := (V, E(S) ∪ M); das ist möglicherweise ein Multigraph. 5: Berechne eine Eulertour R in G ∗ . 6: Aus R gewinne TSP-Tour T durch Shortcut-Technik. 7: Gib T aus. B. Langfeld, A. Srivstav: Kombinatorische Optimierung (CAU, SoSe 2009) 4
Handouts zur VL vom 27.04.2009 Stand dieser Sammlung: 17. Juli 2009 Zur Sprechweise („Meist, aber nicht immer im Sinne von...“): Algorithmus: „lässt sich analysieren“, „Gütegarantie bekannt.“ Heuristik: „produziert schnell eine zulässige Lösung“ (oft ohne Gütegarantie). Zwei Grundideen für Heuristiken: Insert-Heuristiken: Beginne mit Teillösung, erweitere sie durch „Einfügen“. z.B. MST: Subgraph Stück für Stück zum Baum erweitern. z.B. TSP: „Subtour“ Stück für Stück um Städte erweitern (s.u.). Verbesserungs-Heuristiken: Beginne mit (kompletter) Lösung, verbessere diese durch lokale Operationen. Bsp. Matching: Starte mit nicht erweiterbarem Matching, versuche durch lokales Kantentauschen ein größeres Matching zu finden („augmentierende Pfade“). Bsp. TSP: Starte mit Tour, nimm (z.B.) 2 Kanten aus der Tour und probiere, ob Ersetzen durch zwei andere Kanten eine kürzere Tour liefert. Iteriere das. ☞ Für das TSP gibt es viele Heuristiken (2-Opt-Heuristik, Lin-Kernighan-Heuristik, Approximatonsschema von Arora,...), wir betrachten exemplarisch Insert-Heuristiken. Algorithmus 1.3.6 (TSP-Insert). Eingabe: Eine symmetrische TSP-Instanz, eine Heuristik NEXT ∈ {NEXTN, NEXTF , NEXTC} und ein Startknoten v1 ∈ V . Ausgabe: TSP-Tour. 1: T1 ← (v1), i ← 1 ⊲ Initialisierung 2: Bilde Ti+1 durch Einfügen von vi+1 := NEXT(Ti) in Ti. 3: i ← i + 1 4: falls i < n, also noch Knoten nicht besucht werden, gehe zu 2. 5: Gib T aus. B. Langfeld, A. Srivstav: Kombinatorische Optimierung (CAU, SoSe 2009) 5
Seite 1 und 2: Kombinatorische Optimierung Approxi
Seite 3: Handouts zur VL vom 22.04.2009 Stan
Seite 7 und 8: Handouts zur VL vom 04.05.2009 Stan
Seite 43 und 44: Literatur Stand dieser Sammlung: 17

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