Kombinatorische Optimierung Approximation und Randomisierung ...

Handouts zur VL vom 10.06.2009 Stand dieser Sammlung: 17. Juli 2009
[...]
Zu (2): Mit X ′ := � m i=1 X R i gilt
Mit β = ε
2−ε
gilt also
E[X ′ ] = �
1 − ε � �m
x
2
∗ i = �
1 − ε �
OPT
2
∗ .
(1 − β)E[X ′ ] =
2 − 2ε
2 − ε
i=1
· 2 − ε
2
· OPT ∗ = (1 − ε)OPT ∗ .
Wir erhalten mit der Angluin-Valiant-Ungleichung (Kor. 4.0.11):
P �
X ′ ≤ (1 − ε)OPT ∗�
= P �
X ′ ≤ (1 − β)E[X ′ ] �
≤
�
exp − β2E[X ′ ⎛
�
� �2� ε
] ⎜ 1 − 2−ε
= exp ⎝−
2
ε
�
OPT 2
∗
⎞
⎟
⎠
2
= exp
�
− ε2OPT ∗
�
4(2 − ε)
� �� �
falls hier „≤ − ln(4)“, dann fertig!
.
Weil H mindestens k Kanten hat, ist
Also gilt
OPT ∗ ≥ k ≥
6(2 − ε) ln(4n)
ε 2
ε2OPT ∗
4(2 − ε) ≥ ε26(2 − ε) ln(4)
4(2 − ε)ε2 ≥
6(2 − ε) ln(4)
ε2 .
= 3
ln(4) ≥ ln(4).
2
B. Langfeld, A. Srivstav: Kombinatorische Optimierung (CAU, SoSe 2009) 24