Kombinatorische Optimierung Approximation und Randomisierung ...

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Handouts zur VL vom 15.06.2009 Stand dieser Sammlung: 17. Juli 2009 Beispiel 5.3.8 (Ein sehr einfaches Beispiel). v2 v1 Phase 0 v4 • eine opt. Reihenfolge : 1, 3, 2, 4 v3 � e � t yOPT et = 3 • eine Algo-Reihenfolge : 1, 2, 3, 4 (siehe Tabellen) Summe der Überdeckungszeitpunkte = 4 xit v1 v2 v3 v4 t = 1 t = 2 t = 3 1 2 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 1 2 0 t = 4 0 0 0 0 Phase 1 zit v1 v2 v3 v4 t = 1 1 1 0 0 t = 2 0 0 1 1 t = 3 0 0 0 0 t = 4 0 0 0 0 Satz 5.3.9 ([FLT04]). Mit ¯x und der LP-Lösung y in Algorithmus 5.3.7 und ⎧ ⎨1 Kante e ist vor Slot s im Zeitfenster t noch nicht überdeckt ¯yets := ⎩0 sonst für e ∈ E, t ∈ [n] und s ∈ [st] gilt ⎡ E ⎣ � ⎤ � � ¯yets ⎦ e∈E t∈[n] s∈st ! ≤ 2 · � � yet e∈E t∈[n] o.k. ≤ 2 · � � y e∈E t∈[n] OPT et , wobei y OPT ein optimale Lösung des ILP aus Beobachtung 5.3.6 sei. Beweis: Wir brachen für den Beweis zuerst einige Definitionen und technische Einzelheiten, die wir am Ende zusammensetzen: Für e ∈ E, t ∈ [n] und s ∈ [st] definiere die Ereignisse Aet := Kante e ist vor Zeitfenster t nicht überdeckt Bets := Kante e ist vor Slot s in Zeitfenster t nicht überdeckt und für den Fall, dass Aet eingetreten ist, definiere die Zufallsvariablen Wet := # Slots in Zeitfenster t, vor denen e noch nicht überdeckt Ret := # Knoten k außer den Endknoten von e, deren zugehörige Variable ¯xkt in Zeitfenster t auf 1 gerundet wird Wir berechnen E[Wet]: Mit der 0-1-Zufallsvariable ⎧ ⎨1 Ereignis Bets tritt ein �Bets := ⎩0 sonst B. Langfeld, A. Srivstav: Kombinatorische Optimierung (CAU, SoSe 2009) 26
Handouts zur VL vom 15.06.2009 Stand dieser Sammlung: 17. Juli 2009 gilt unter der Bedingung, dass Aet eingetreten ist, die Gleichheit Wet = � s∈[st] �Bets. Folglich ist E[Wet] = E � � � = � P[�Bets = 1|Aet] = � P[Bets|Aet]. Nun gilt E � � � � � ¯yets e∈E t∈[n] s∈st s∈[st] �Bets|Aet s∈[st] s∈[st] = � � � E[¯yets] = e∈E t∈[n] s∈st � � � P[¯yets = 1] = e∈E t∈[n] s∈st � � � P[Aet ∩ Bets] = e∈E t∈[n] s∈st � � � P[Aet]P[Bets|Aet] = e∈E t∈[n] s∈st � � P[Aet] e∈E t∈[n] � P[Bets|Aet] = s∈st � � P[Aet] e∈E t∈[n] � E[Wet] s∈st Wir zeigen die folgenden zwei Aussagen, die die dann Behauptung direkt implizieren: (1) P[Aet] ≤ yet (2) E[Wet] ≤ 2. → Übungsaufgabe 9.3, Um E[Wet] abzuschätzen, werden wir E[Ret] benutzen. Berechnen wir also zuerst letzteres. Dazu sei e = {i, j} und x sei der Vektor aus der LP-Lösung, mit Hilfe derer die „Zeitfensterwahrscheinlichkeiten“ zkt berechnet wurden. Nun gilt E[Ret] = E � � � ¯xkt = k∈[n], k�=i,j � E[¯xkt] = k∈[n], k�=i,j � P[¯xkt = 1] k∈[n], k�=i,j = � zkt Def. der zkt ≤ 2 · k∈[n], k�=i,j � xkt ≤ 2 k∈[n], k�=i,j � �� ≤1 � Nun zu E[Wet]. Das Ereignis Aet sei eingetreten (die Kante e ist also vor Zeitfenster t noch nicht überdeckt). Wieder sei e = {i, j}. 1. Fall: Die Kante e wird auch im Zeitfenster t nicht überdeckt, d.h. ¯xit = ¯xjt = 0. In diesem Fall gilt Ret = st = Wet. Insbesondere haben wir E[Wet] = E[Ret] ≤ 2. 2. Fall: Die Kante e wird im Zeitfenster t überdeckt, weil genau einer der Endknoten i oder j im Zeitfenster t einen Slot zugewiesen bekommt, d.h. o.E. gelte ¯xit = 1 und ¯xjt = 0. In diesem Fall ist Ret = st − 1. Also werden im Algorithmus im t-ten Zeitfenster st − 1 Slots auf Knoten verteilt, die mit e nichts zu tun haben, und ein Slot wird Knoten i zugewiesen (und damit e überdeckt). Die Anzahl der Knoten, die der Reihe nach auf die Slots verteilt werden, bevor i an die Reihe kommt, beträgt also im Erwartungswert E[st−1] (selber klarmachen, hier geht die Gleichverteilung der 2 Slots auf die Knoten mit gleichem Zeitfenster ein). Vor diesen erwartet E[Ret] Slots ist 2 e nicht überdeckt und vor dem Slot, dem i zugewiesen wird, ist e auch noch nicht + 1 ≤ 2. überdeckt. Demnach gilt E[Wet] = E[Ret] 2 B. Langfeld, A. Srivstav: Kombinatorische Optimierung (CAU, SoSe 2009) 27
Seite 1 und 2: Kombinatorische Optimierung Approxi
Seite 3 und 4: Handouts zur VL vom 22.04.2009 Stan
Seite 25: Handouts zur VL vom 15.06.2009 Stan
Seite 43 und 44: Literatur Stand dieser Sammlung: 17

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