Kombinatorische Optimierung Approximation und Randomisierung ...

Handouts zur VL vom 01.07.2009 Stand dieser Sammlung: 17. Juli 2009
Beachte: Mit einer Nebenrechnung (N.R.) sieht man:
2 r ≤ 2 1+log 3−ε ∆ = 2 · 2 log 3−ε ∆ N.R.
= 2 · ∆ log 3−ε 2 = O(n log 3−ε 2 ).
Nebenrechnung: Für alle x, y, z > 0 gilt
x log z y = z log z (xlog z y ) = z (log z y) (log z x) = z log z (y log z x ) = y log z x .
1
0.75
0.5
0.25
Algorithmus 6.3.14 (SDP-Teilfärbung).
y
arccos(x) / pi
0
-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
Eingabe: 3-färbbarer Graph G = (V, E)
Ausgabe: Zulässige Teilfärbung (Färbung auf einer Teilmenge der Knoten).
1: Berechne eine (3 + ε0)-Vektorfärbung v1, . . . , vn von G.
2: Ziehe zufällig und unabhängig gleichverteilt Vektoren c1, . . . , cr ∈ Bn.
3: Seien R1, . . . , R2 r die Bereiche, in die die Hyperebenen c⊥ 1 , . . . , c ⊥ r den Raum R n
unterteilen. Färbe alle Knoten aus Rs mit einer noch nicht benutzten Farbe cs für
s = 1, . . . , 2 r .
4: Gehe die Knoten v aus V der Reihe nach durch und entferne die Farbe von v,
falls v ungültig gefärbt ist (also ein Nachbar mit gleicher Farbe existiert).
5: Gib die gefundene Teilfärbung aus.
Satz 6.3.15.
(a) Algorithmus 6.3.14 kann in polynomieller Zeit ausgeführt werden und benötigt
höchstens 2 · ∆ log 3−ε 2 = O(n log 3−ε 2 ) Farben.
(b) Für einen 3-färbbaren Graphen G gilt: Mit Wahrscheinlichkeit mindestens 1/2
findet der Algorithmus eine Teilfärbung auf mindestens n/2 Knoten.
Den Beweis dafür geben wir erst später. Zuerst sehen wir uns an, wie man Algorithmus
6.3.14 nutzen kann, um iterativ (mit hoher Wahrscheinlichkeit) eine Färbung
aller Knoten zu berechnen:
B. Langfeld, A. Srivstav: Kombinatorische Optimierung (CAU, SoSe 2009) 38
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