Lineare Algebra - Fachhochschule Frankfurt am Main

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12 KAPITEL 1. VEKTOREN IN ZWEI UND DREI DIMENSIONEN (a) u = (2, 3), v = (8, 1); (b) u = (1, 1, 1), v = (−1, 1); (c) u = (a, b), v = (b, a), a, b ∈ R; (d) u = α(x, y), v = (−1, 2), x, y, α ∈ R; 9. Zerlegen Sie die in 7) angegebenen Vektoren v in einen Vektor v ⊥ senkrecht und in einen Vektor parallel v || zu u. 10. Ermittle den Betrag |u| für (a) u = ( √ 2, √ 2); (b) u = (1, 1); (c) u = (1, −1); (d) u = (cos φ, sin φ); (e) u = (exp x −x , exp 2 2 ); 11. Sind die Vektoren a = (1, 1) und b = (tan π 4 , cot π 4 ) parallel zueinander 12. Unter welchem Winkel schneiden sich die Diagonalen des Vierecks mit den Endpunkten (0, 0), (3, 2), (4, 6),(1, 3) 13. Ein Flugzeug fliege relativ zum Erdboden mit einer Geschwindigkeit von 12[ km Std ] in nördliche Richtung, da gleichzeitig ein Westwind (d.h. ein aus westlicher Richtung kommender Wind) mit 50[ km Std ] relativ zum Erdboden weht. In welche Richtung wäre das Flugzeug bei Windstille geflogen. Bestimmen Sie diese a) graphisch und b) algebraisch. 14. Beweisen Sie, daß sich die Diagonalen in einem Parallelogr<strong>am</strong>m halbieren. 15. a und b ∈ R 2 seien zwei nichtparallele (nichtkolineare) Vektoren. Zeigen Sie, daß aus λa + µb = 0 notwendigerweise λ = µ = 0 folgt. 16. Eine Leiter AB mit der Länge a ruht gegen eine senkrechte Wand OB. Der Fußpunkt B der Leiter werde mit einer konstanten Geschwindigkeit v 0 in x- Richtung zur Seite verschoben. Zeige, daß dabei der Mittelpunkt M der Leiter eine Kreisbahn vom Radius a 2 bezüglich des Zentrums O des Kreises durchläuft. 17. Beweisen Sie, daß die Vektoren a und b in einem Kreis senkrecht aufeinander stehen. Dabei bilden a und b mit dem Durchmesser 2r (r ist der Radiusvektor) des Kreises ein Dreieck und liegen mit ihrer Pfeilspitze bzw. -Ende auf dem Kreisrand. 18. Zeigen Sie, daß die Diagonalen eines Rhombus senkrecht aufeinander stehen.
13 19. Auf einem Schiff, welches sich mit 15[ km ] nach Nord-Osten bewegt, beobachtet h eine Frau (oder Mann) ein zweites Schiff, das im Abstand von 5[km] mit einer Geschwindigkeit von 5[ km ] nach Süden zu fahren scheint. h a) Wir groß ist die tatsächliche Geschwindigkeit des Schiffes b) Bei welcher Entfernung kommen sich die beiden Schiffe <strong>am</strong> nächsten
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Kapitel 21 Anwendungen 1. Nach dem
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70 KAPITEL 22. GRUNDBEGRIFFE (a) f
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72 KAPITEL 23. ANWENDUNGEN 5. Die E
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Teil VIII Das Eigenwertproblem 75
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