Lineare Algebra - Fachhochschule Frankfurt am Main

48 KAPITEL 13. GRUNDBEGRIFFE UND VERKNÜPFUNGEN
4. Welche Bedingungen müssen an die Matrix A ∈ R (2,2) geknüpft werden,
damit s(x,y) := x T Ay ein Skalarprodukt im R 2 wird
5. Finden Sie die inversen Matrizen A −1 und B −1 zu den in Aufgabe 2)
definierten Matrizen A und B.
6. Gilt für alle Matrizen A ∈ K (n,m)
bzw.
A · A T = A T · A (für K = R) (13.4)
A · A † = A † · A (für K = C), (13.5)
wobei A † := (A) T die adjungierte Matrix zu A ist.
7. Man gebe zwei Matrizen A, B ∈ R (6,6) explizit an, die die folgenden Eigenschaften
haben:
(a) RangA = RangB = 3;
(b) A · B = 0.
( i −i
8. Ist die Matrix B = √ 1 2 i i
)
∈ C (2,2) unitär
9. Berechnen Sie die ⎛ Determinanten ⎞ der folgenden Matrizen:
( )
( ) ( 1 −1
0 −2 i 5 + i
, ⎠, ,
−1 1
1 0 −5 1
⎝ 1 0 2
0 1 0
1 1 1
)
.
10. Gegeben sind die Matrizen und Vektoren
⎛
( ) ( )
1 2 1 1
A = ; B = ; C = ⎝ 0 2 5
−3 1 2
3 4 2 2
1 1 −1
⎞
(
⎠ 1 1 2
; D =
3 2 2
⎛
)
;
⎞
v 1 = (4, −7); v 2 = (−2, −2, 1); v 3 =
Entscheiden Sie, welche der folgenden Produkte existieren, und berechnen
Sie diese gegebenenfalls:
A 2 , D 2 , B · A, A · B, A · C; A · D; D · A;
A · v 1 , B · v 2 , C · v 3 , v 2 · C, v 3 · D, v 2 · v 3 , v 3 · v 2 , v 3 · v 1 .
⎝ 1 0
3
⎠.