Lineare Algebra - Fachhochschule Frankfurt am Main

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30KAPITEL 6. REELLE UND KOMPLEXE VEKTORRÄUME, UNTERRÄUME
Kapitel 7 Komplexe Zahlen 1. Man finde den Realteil Re(z) = x und den Imaginärteil Im(z) = y der komplexen Zahl z = x + iy so, daß gilt 3x + 2iy − ix + 5y = 7 + 5i. 2. Zeigen Sie, daß gilt (a) z 1 + z 2 = z 1 + z 2 (b) |z 1 z 2 | = |z 1 ||z 2 |. 3. Bestimmen Sie die Gleichung für a) einen Kreis vom Radius 4 mit dem Mittelpunkt (−2, 1) und b) einer Ellipse mit der Hauptachse der Länge 10 und den Brennpunkten bei (−3, 0) und (3, 0) in der komplexen Zahlenebene. 4. Stelle die folgenden komplexen Zahlen in Polarkoordinaten dar: 2 +2 √ 3i, −5 + 5i, − √ 6, − √ 2i, −3i, 17. 5. Zeigen Sie, daß der Zus<strong>am</strong>menhang cos φ + i sin φ = exp iφ gilt. (Hinweis: Benutzen Sie die Reihenentwicklung expx = 1+x+ x2 der Exponentialfunktion.) 6. Zeige, daß cos φ = exp iφ+exp −iφ exp iφ−exp −iφ und sin φ = 2 2i gilt. 2! + x3 3! +... 7. Gegeben sei eine komplexe Zahl z. Interpretieren Sie z exp iα geometrisch in der Gaußschen Zahlenebene für reelle α. 8. Bestimmen Sie alle Werte von z ∈ C für die gilt z 5 = −32 gilt und lokalisieren Sie die Lösungen in der komplexen Ebene. 9. Interpretieren Sie die Division z1 z 2 zweier komplexer Zahlen z 1 , z 2 geometrisch. 10. Drücken Sie jede der folgenden Gleichungen durch z = x + iy und z aus: 2x + y = 5, x 2 + y 2 = 36, |x − y| = 1, x 3 = 2. 31
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