Lineare Algebra - Fachhochschule Frankfurt am Main

Kapitel 16
Matrizenfunktionen
1. Gegeben ist die Matrix A =
(
0 −1
1 0
)
. Ermitteln Sie die Exponentialfunktion
expA = 1 + A + A2
2!
+ A3
3!
+ ..., der Matrix A.
2. Zeigen Sie, daß für die Matrix-Exponentialfunktion expA gilt:
B · exp A · B −1 = exp (B · A · B −1 )
für A, B ∈ R (n,n) (C (n,n) ). Vorausgesetzt die Matrix B ist invertierbar.
3. Kann man mit Hilfe der Matrixfunktionen cosA = 1 − A2 + A4 − ...
2! 4!
und sinA = A − A3
3!
+ A5
5!
− ... die Exponentialfunktion expA generieren.
(Hinweis: Denken Sie dabei an die Eulerformel expiφ = cos φ + isin φ für
komplexe Zahlen.)
4. Gegeben ist die Matrix A =
( 0 −1
1 0
)
. Ermitteln Sie die Spur und die
Determinante von expA = 1 + A + A2
2!
+ A3
3!
+ ..., der Matrix A.
5. Weisen Sie nach, dass für A ∈ K (n,n) gilt
detA = exp (Spur lnA) (16.1)
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