Lineare Algebra - Fachhochschule Frankfurt am Main

Kapitel 2
Koordinaten und
Komponenten
1. Gegeben seien die folgenden Darstellungen eines Vektors im R 3
⎛
⎝ x ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
r cos φ sinθ
y ⎠, ⎝ r sin φ sin θ ⎠, ⎝ r cos φ
⎞
r sin φ ⎠ . (2.1)
z r cos θ z
Welche der hier eingehenden Variablen (x, y, z), (r, φ, θ), (r, φ, z) sind Koordinaten
und welche Komponenten des Vektors
2. Zeigen Sie, da die Vektoren a 1 = (1, 0, 1), a 2 = (1, 1, 0), a 3 = (0, 1, 1) eine
Basis des R 3 bilden, und bestimmen Sie die Komponenten des Vektors
(x 1 , x 2 , x 3 ) bezüglich dieser Basis. Sind (x 1 , x 2 , x 3 ) auch gleichzeitig Koordinaten
3. Berechnen Sie die Komponenten x 1 , x 2 , x 3 des Vektors x = (2, 1, 2) bezüglich
der Basis
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−1 2 2
⎝ 2 ⎠, ⎝ −1 ⎠, ⎝ 2 ⎠ . (2.2)
2 2 −1
Geben Sie eine orthonormale Basis an, in der der Vektor x die Komponenten
x 1 = 3 2 , x 2 = 3√ 3
2
und x 3 = 0 hat.
4. Ein Würfel habe die Eckpunkte (0, 0, 0), (2, 2,1),(1, 1,5). Bestimmen Sie
die Komponenten der anderen Eckpunkte.
5. An einem 12m (6m) langen Seil, welches zwischen zwei 11.4m (5.7m)
voneinander entfernten Masten gespannt ist, hängen zwei Straßenlampen
mit dem Gewicht |G| = 50N . Die beiden Lampen haben dabei den
gleichen Abstand d zur Seilmitte.
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