Lineare Algebra - Fachhochschule Frankfurt am Main

Kapitel 9
Linearität
1. Seien V und W zwei Vektorräume und f : V → W eine Abbildung. Welche
der folgenden Abbildungen ist linear
(a) V = W = N, v ↦→ Quersumme von v;
(b) V = W = N, v ↦→ 2v;
(c) V = W = R, v ↦→ sin v;
(d) V = W = R, v ↦→ v 3 ;
(e) V = C, W = R, v ↦→ |v|;
(f) V = W = C, v ↦→ v;
(g) V = R, W = R 2 , v ↦→ (v + 1, v − 1);
(h) V = R 2 , W = R, v = (v 1 , v 2 ) ↦→ v 1 + v 2 ;
(i) V = W = R 2 , v = (v 1 , v 2 ) ↦→ (v 2 , 3);
(j) V = W = R 2 , v = (v 1 , v 2 ) ↦→ (v 1 + 3, v 2 − 2);
(k) V = W = R 2 , v = (v 1 , v 2 ) ↦→ (v 1 v 2 , v 1 + v 2 );
(l) V = W = R 2 , v = (v 1 , v 2 ) ↦→ (v 1 − v 2 , v 1 + v 2 );
2. Ist die Abbildung f : R 2 → R mit f(x 1 , x 2 ) = x 1 + x 2 − 1 linear Wenn
ja, in welche Unter-Abbildungsklasse innerhalb der linearen würden Sie
selbige einordnen
3. Sei f : C → C die konjugierte Abbildung auf die komplexen Zahlen, d.h.
es gilt f(z) = ¯z, wobei z ∈ C.
a) Man zeige, daß f linear ist.
b) Ist f ein Isomorphismus Wenn ja, finden Sie die Umkehrabbildung.
4. Man zeige, daß die folgenden linearen Abbildungen f, g, h ∈ Hom(E 2 ,E 2 )
linear unabhängig sind: f(x, y) = (x, 2y), g(x, y) = (y, x + y), h(x, y) =
(0, x).
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