UNIVERSIT¨AT AUGSBURG Institut für Physik Der Stehaufkreisel ...

1.2 Der Reibungsansatz 7
Aus (1.1) erhält man das Potential V der Verformung zu
V = 2√ r
5D h5/2 . (1.3)
Hier sei noch erwähnt unter welchen Voraussetzungen obige Formeln abgeleitet
wurden:
• homogene, isotrope Materialien,
• alleinige Wirkung von Normalspannungen in der Berührungsfläche,
• die Deformation ist klein gegenüber den Körperabmessungen.
Bevor wir zur Berechnung der Dissipationsfunktion übergehen, noch ein kleines
Rechenbeispiel, um ein Gefühl für die auftretenden Größen zu erhalten
E = E ′ 9 N
= EFichte ≈ 10 ,
m2 σ = σ ′ ≈ 0.1,
r = 2, 5 · 10 −2 m,
m = 15 · 10 −3 kg,
F = mg,
=⇒ h = 1.24 · 10 −8 m.
Die Berührkreisfläche besitzt aus geometrischen Gründen einen Radius von etwa
R = √ 2rh. Mit obigen Werten folgt hieraus R = 2.49 · 10 −5 m. Dies bedeutet,
das Berührungsgebiet wird durch einen Kreis begrenzt, dessen Radius lediglich
etwa 0,025mm beträgt.
1.2.2 Die Dissipationsfunktion
Wie bereits erwähnt, spielt Reibung beim Verhalten des Stehaufkreisels eine
entscheidende Rolle. Genauere Untersuchungen dieses Aspekts (siehe [6]) haben
gezeigt, daß das seltsame Verhalten des Kreisels ausschließlich durch Gleitreibung
verursacht wird und Rollreibung praktisch unbedeutend ist.
Wie kommt man nun zu einem Reibungsansatz unter Berücksichtigung einer
Berührungsfläche? Hierzu betrachten wir zunächst eine homogene Kreisscheibe
der Dichte ρ, Höhe h und Radius R, welche sich unter dem Einfluß der Gewichtskraft
sowie Coulomb-Reibung in y-Richtung bewegt. Der Translationsbewegung
sei noch eine Rotationsbewegung mit nicht notwendigerweise konstanter Winkelgeschwindigkeit
ω überlagert. Abbildung 1.6 verdeutlicht diesen Sachverhalt.
Bevor wir die resultierende Reibungskraft berechnen, noch ein kurzer Einschub