UNIVERSIT¨AT AUGSBURG Institut für Physik Der Stehaufkreisel ...

Der Stehaufkreisel mit Stift 29
mit
√
r
P1 = f
mD (r − zs − a cos ϑ) 3/2 � �
3 R p vR1
ωz πR + ln cosh
16 p ωzR
√
r ′
P2 = f
mD (r′ − zs − a ′ cos ϑ) 3/2 �
3
ωz
16 πR′ + R′
ln cosh
p
� p vR2
ωzR ′
��
,
��
.
Auch die Auflösung nach den (Winkel-) Beschleunigungen geschieht wie in Abschnitt
1.5 beschrieben. Wir erhalten somit
¨xs = − 1 ∂P
,
m ∂ ˙xs
(3.1)
¨ys = − 1
¨zs =
∂P
,
m ∂ ˙ys
√
r
−g +
Dm
(3.2)
(r − a cos ϑ − zs) 3/2 √
r ′
+
Dm (r′ − a ′ cos ϑ − zs) 3/2 ¨ϑ =
,
˙ϕ
(3.3)
2 �
sin ϑ cos ϑ 1 − I3
�
I1
− 1
�
I3 ˙ϕ
I1
˙ ψ sin ϑ + (r − a cos ϑ − zs) 3/2
√
r
a sin ϑ
D
+ (r
(3.4)
′ − a ′ cos ϑ − zs) 3/2
√
r ′
D a′ sin ϑ + ∂P
∂ ˙ ¨ϕ =
�
,
ϑ
�
1
(I3 − 2I1) ˙ϕ
I1 sin ϑ
(3.5)
˙ ϑ cos ϑ + I3 ˙ ψ ˙ ∂P
∂
ϑ +
˙
∂P cos ϑ −
�
ψ ∂ ˙ϕ
,
sin ϑ
(3.6)
¨ψ = ˙ϕ ˙ ϑ sin ϑ − ¨ϕ cos ϑ − 1 ∂P
I3 ∂ ˙
.
ψ
(3.7)
Leider gibt es in dieser Phase keine Erhaltungsröße, auf die man sich stützen
könnte und wir sind deshalb verstärkt auf die numerischen Resultate angewiesen.
Um Aussagen über ein eventuelles Aufrichten auf den Stift und Erreichen der
stabilen Endposition ϑ = π zu ermöglichen, ist es erforderlich das Verhältnis von
der Erhaltungsröße G vor und der Erhaltungsgröße G ′ nach dem Doppelkontakt
zu kennen. Hierzu zunächst eine wichtige Feststellung: Angenommen die Aufrichtung
würde instantan ohne jegliche Reibungsverluste erfolgen, so würde in
sehr guter Näherung G = G ′ gelten! Aus den nachfolgenden Überlegungen folgt
auch die annähernde Gleichheit von G und G ′ am Anfang des Doppelkontaktes,
was durch die Numerik glänzend bestätigt wird.
Zum Beweis ziehen wir die im Anhang abgeleiteten Formeln für ˙ϕ(ϑ) und
˙ψ(ϑ) heran:
˙ϕ ≈
G
I1(r − a cos ϑ) , �
ψ˙ G cos ϑ 1
≈ −
r − a cos ϑ I3
1
�
.
I1