UNIVERSIT¨AT AUGSBURG Institut für Physik Der Stehaufkreisel ...

1.3 Bewegungsgleichungen 15
u := pvR/ωzR ≪ 1 erhalten wir
∂P
p
�
≈ fmgeff ˙xs + (a ˙ϕ + r
∂ ˙xs
ωzR
˙ ψ) sin ϑ cos ϕ − ˙ �
ϑ(r − a cos ϑ) sin ϕ (1.19)
∂P
p
�
≈ fmgeff ˙ys + (a ˙ϕ + r
∂ ˙ys
ωzR
˙ ψ) sin ϑ sin ϕ + ˙ �
ϑ(r − a cos ϑ) cos ϕ (1.20)
∂P
∂ ˙ p
� �
≈ fmgeff (r − a cos ϑ) ˙ϑ(r − a cos ϑ) − ˙xs sin ϕ + ˙ys cos ϕ (1.21)
ϑ ωzR
�
∂P
3
≈ fmgeff
∂ ˙ϕ 16 πR − pv2 R
2ω2 zR + p
�
a sin ϑ (a ˙ϕ + r
ωzR ˙ �
ψ) sin ϑ + ˙xs cos ϕ + ˙ys sin ϕ
�
(1.22)
∂P
∂ ˙ �
3
≈ fmgeff
ψ 16 πR cos ϑ − pv2 R
2ω2 cos ϑ
zR + p
�
r sin ϑ (a ˙ϕ + r
ωzR ˙ �
ψ) sin ϑ + ˙xs cos ϕ + ˙ys sin ϕ
�
. (1.23)
Im Fall dominierender Coulomb-Reibung u ≫ 1 ergibt sich
∂P
1
�
≈ fmgeff ˙xs + (a ˙ϕ + r
∂ ˙xs
vR
˙ ψ) sin ϑ cos ϕ − ˙ �
ϑ(r − a cos ϑ) sin ϕ ,
∂P
1
�
≈ fmgeff ˙ys + (a ˙ϕ + r
∂ ˙ys
vR
˙ ψ) sin ϑ sin ϕ + ˙ �
ϑ(r − a cos ϑ) cos ϕ ,
∂P
∂ ˙ 1
� �
≈ fmgeff (r − a cos ϑ) ˙ϑ(r − a cos ϑ) − ˙xs sin ϕ + ˙ys cos ϕ ,
ϑ vR �
∂P
3 R
≈ fmgeff πR − ln 2
∂ ˙ϕ 16 p
+ a
�
sin ϑ (a ˙ϕ + r
vR
˙ �
ψ) sin ϑ + ˙xs cos ϕ + ˙ys sin ϕ
�
,
∂P
∂ ˙
�
3
R
≈ fmgeff πR cos ϑ − ln 2 cos ϑ
ψ 16 p
+ r
�
sin ϑ (a ˙ϕ + r
vR
˙ �
ψ) sin ϑ + ˙xs cos ϕ + ˙ys sin ϕ
�
.
Diese Approximationen liefern bereits für u < 0, 5 bzw. u > 2 gute Ergebnisse,
was auch aus Abbildung 1.7 ersichtlich ist. Des weiteren führt die Approximation
der Rqj nach der Differentation ∂P /∂ ˙qj zu den gleichen Resultaten wie die Ableitung
der entsprechenden genäherten Dissipationsfunktion Pappr. In Kurzform