UNIVERSIT¨AT AUGSBURG Institut für Physik Der Stehaufkreisel ...

2.2 Charakterisierung von asymptotischen Zuständen 21
gen (1.19) bis (1.23)). Die Ausdrücke in den eckigen Klammern beschreiben die
Geschwindigkeitskomponenten in x bzw. y-Richtung sowie die Anteile von �vR,
welche senkrecht zur Knotenlinie ON bzw. in Richtung derselben verlaufen. Wir
betrachten (1.21) genauer; mit Hilfe der Beziehung
wobei
sowie
− ˙xs sin ϕ + ˙ys cos ϕ = � ˙x 2 s + ˙y2 s sin(ϕ + ϕ0),
tan ϕ0 = − ˙xs
,
˙ys
ϕ = Ωt + ϕS ; ϑ = ωt + ϑS ; Ω, ω, ϕS, ϑS = const
(es liegt ein stationärer Zustand vor) folgt
˙ϑr − ˙ ϑa cos ϑ + � ˙x 2 s + ˙y2 s sin(Ωt + ϕ0 + ϕS) = 0.
Der Restterm ohne den konstanten Ausdruck ˙ ϑr beschreibt eine Schwingung mit
zeitabhängiger Amplitude und Phase. Deswegen kann obige Gleichung nur für
˙ϑ = ˙xs = ˙ys = 0 erfüllt sein!
Aus der Vektordarstellung (1.16) oder auch aus (1.18) können wir somit ablesen,
daß genau zwei Fälle von stationären Zuständen auftreten können:
1. Fall: ϑ = const, r ˙ ψ + a ˙ϕ = 0 (2.1)
2. Fall: ϑ = 0 oder π, r ˙ ψ + a ˙ϕ beliebig (2.2)
Letztere Bedingung trifft auch für den Stehaufkreisel zu.
Das Ziel wird es also sein, Kriterien zu bestimmen, mit deren Hilfe man aus
den Parameter- und Startwerten entscheiden kann, in welchen asymptotischen
Zustand der Kreisel hineinlaufen wird.
2.2 Charakterisierung von asymptotischen Zuständen
Um einen Zusammenhang zwischen der kleinstmöglichen Energie Emin und der
Konstanten der Bewegung herzustellen, ist es zweckmäßig zur neuen Größe J :=
G/r überzugehen welche die Dimension eines Drehimpulses besitzt. Mit der
weiteren Abkürzung ɛ := a/r als Maß für die Exzentrität des Schwerpunktes
erhalten wir