UNIVERSIT¨AT AUGSBURG Institut für Physik Der Stehaufkreisel ...

1.4 Eine Quasi-Erhaltungsgröße 17
1.4 Eine Quasi-Erhaltungsgröße
Von den in der Lagrangefunktion vorkommenden Variablen sind xs, ys sowie
ϕ und ψ zyklische Koordinaten. In den Gleichungen (1.24) und (1.26) wurde
die zeitliche Ableitung der eckigen Klammer (d.h. der Drehimpulse pϕ bzw. pψ)
bewußt nicht ausgeführt, da diese beiden Gleichungen zu einer Quasi-Erhaltungsgröße
führen! Subtrahiert man die mit a multiplizierte Gleichung (1.26) von der
mit r multiplizierten Gleichung (1.24) so ergibt sich
d
dt (r pϕ − a pψ) := d
(G) = −
dt
�
r ∂P
∂ ˙ϕ
− a∂P
∂ ˙
�
. (1.30)
ψ
Mit Hilfe der Kettenregel sowie der Beziehung r∂vR/∂ ˙ϕ = a∂vR/∂ ˙
ψ, welche aus
(1.18) folgt, erhalten wir
˙G = −fmgeff(r − a cos ϑ) R
p
� 3πp
16
+ ln cosh
� �
p vR p vR
−
ωzR ωzR tanh
� ��
p vR
.
ωzR
(1.31)
Für R −→ 0 (verschwindende Bohrreibung) verschwindet auch ˙ G und G geht in
eine exakte Erhaltungsgröße ( ” Jelett’s Integral“) über!
Obige auf rein formalem Wege gewonnenen Ergebnisse lassen sich verallgemeinern,
indem man sich die geometrische Bedeutung vor Augen führt: Die generalisierten
Impulse pϕ und pψ sind die Projektionen des auf den Schwerpunkt
bezogenen Drehimpulses � L auf die z-Achse bzw. auf die Figurenachse.
Betrachten wir einen Berührpunkt, also verschwindender Berührkreisradius
R, so wirken in diesem Reibungskräfte, welche wiederum ein Reibungsdrehmoment
� M hervorrufen, wobei gilt
d
dt pϕ = −Mϕ,
d
dt pψ = −Mψ.
Die Minuszeichen sind Überbleibsel der vektoriellen Form und folgen auch aus
den Gleichungen (1.24) bzw. (1.26). Zur Berechnung der Momente Mϕ und Mψ
betrachten wir Abbildung 1.4.
Die Zeichenebene wird durch die Figurenachse, den Punkt A und eine zur
z-Achse parallele Achse durch den Schwerpunkt bestimmt. Für die Größe von
Mϕ und Mψ ist lediglich die Kraftkomponente F⊥ der Reibungskraft erforderlich,
welche senkrecht auf der Zeichenebene und den entsprechenden Hebelarmen
steht. Aus Abbildung 1.4 lesen wir ab
Mϕ = F⊥a sin ϑ,
Mψ = F⊥r sin ϑ,