UNIVERSIT¨AT AUGSBURG Institut für Physik Der Stehaufkreisel ...

1.2 Der Reibungsansatz 9
tion für dieses Massenelement
dP =
�v
�
=⇒ P = fghρ
0
fdmgdv ′ = fgvdm,
bei reiner Rotation (v0 = 0) ergibt sich
0
2π
�
0
R
�
r dγdr v2 0 + (rω) 2 + 2rωv0 cos γ,
Prot = fmg 2
Rω. (1.7)
3
Für den Betrag der Reibungskraft in Bewegungsrichtung erhalten wir die Integraldarstellung
Ry = ∂P
∂v0
�
= fgρh
0
2π
�
0
R
v0 + ωr cos γ
� v 2 0 + (rω) 2 + 2rωv0 cos γ
r dγdr. (1.8)
Will man nun obiges Doppelintegral auswerten, so stößt man bald auf elliptische
Integrale, deren Lösung bekanntlich nicht durch die Grundfunktionen darstellbar
ist. Durch Reihenentwicklung des Integranden läßt sich jedoch Ry als Reihe
darstellen, welche überdies sehr schnell konvergiert. Die Berechnung des Integrals
ist mühsam und langwierig, ohne neue Einsichten zu vermitteln, deshalb sei an
dieser Stelle nur das Ergebnis mitgeteilt:
⎧ �
⎪⎨
fmg u −
Ry =
⎪⎩
1
8 u3 − 1
64 u5 − 5
1024 u7 − 35
16384 u9 �
− ... für u < 1,
�
fmg 1 − 1 1
− −
8u3 64u5 5
−
1024u7 35
�
− ... für u ≥ 1,
16384u9 mit u = v0/ωR.
Die bisherigen Ergebnisse lassen sich leicht auf beliebige Druckverteilungen
im Berührungsgebiet verallgemeinern. Unter Berücksichtigung der Elastizität von
Kreisel und Unterlage ergibt sich nach Hertz [11] die radiale Druckabhängigkeit
im Berührkreis zu
p(r) = 3F
2πR2 �
1 − r2 /R2 . (1.9)