UNIVERSIT¨AT AUGSBURG Institut für Physik Der Stehaufkreisel ...

2.4 Existenz von Zwischenzuständen 25
Bemerkung
Die letzten beiden Ungleichungen lassen sich auch mit Hilfe der Winkelgeschwindigkeiten
bezüglich Drehungen um die Figurenachse schreiben. Führt man die
Kardanschen Winkel α, β, γ als generalisierte Koordinaten ein (Definition siehe
etwa [15]), so gilt für ϑ = 0 : ˙γ = ˙ϕ+ ˙ ψ und für ϑ = π : ˙γ = − ˙ϕ+ ˙ ψ. Bezeichnen
wir die Winkelgeschwindigkeit bei ϑ = 0 mit ˙γA sowie bei ϑ = π mit ˙γE und
setzen für ɛ wieder a/r ein, so folgt aus (2.8) als Stabilitätskriterium
˙γ 2 A
r
r − a
Für ϑ = π ergibt sich aus (2.9)
˙γ 2 E
r
r + a
� I3
I1
� I3
I1
− r
r − a
�
− r
�
r + a
> mga
. (2.10)
I1
> mga
. (2.11)
I1
Dies sind genau die Kriterien, die Kurt Magnus [15] mit der ” Methode der kleinen
Schwingungen“ (lineare Stabilitätsanalyse) hergeleitet hat. Allerdings mit
dem bedeutenden Unterschied, daß aufgrund unserer Ableitung die obigen Bedingungen
jetzt notwendig und hinreichend für die Stabilität sind!
Des weiteren wurde bei der Herleitung lediglich ein Gleitreibungsgesetz mit
der Eigenschaft FR = 0 ⇐⇒ vR = 0 vorausgesetzt, die genaue Form (Bei K.
Magnus gilt FR = cvR) ist dagegen unbedeutend! Dies erklärt auch die Unabhängigkeit
von irgendeinem Reibungsfaktor.
2.4 Existenz von Zwischenzuständen
In diesem Abschnitt betrachten wir die Zwischenzustände genauer, und leiten
Kriterien für deren Existenz und Verträglichkeit mit dem Vorliegen eines Stehaufkreisels
her. Die Analyse geschieht wieder mit Hilfe der Kurvendiskussion von
Emin(ϑ).
Der erste Term in (2.4) beschreibt die Rotationsenergie und ist üblicherweise
sehr viel größer als die potentielle Energie. Deshalb wird zunächst der Schwerkraftterm
vernachlässigt. Nullsetzen der ersten Ableitung von Emin(ϑ) führt für
sin ϑ �= 0 auf die Beziehung
Mit −1 < cos ϑ < 1 folgt hieraus
cos ϑ = ɛI3
. (2.12)
I3 − I1
I1 < I3(1 − ɛ) für I3 > I1, (2.13)
I1 > I3(1 + ɛ) für I3 < I1. (2.14)