UNIVERSIT¨AT AUGSBURG Institut für Physik Der Stehaufkreisel ...

1.5 Auflösung nach den 2. Ableitungen 19
1.5 Auflösung nach den 2. Ableitungen
In Vorausschau auf die analytische Untersuchung der Bewegung sowie die numerische
Behandlung ist es erforderlich, die Gleichungen (1.24) bis (1.29) nach den
¨qj aufzulösen. Bei den Gleichungen für Lϕ und Lψ ist die Verknüpfung von ¨ϕ
und ¨ ψ etwas verwickelt und die Entkoppelung geschieht folgendermaßen:
� �
d ∂L
+
dt ∂ ˙ϕ
∂P
∂ ˙ϕ
=
�
I1 ¨ϕ sin 2 ϑ + 2 ˙ϕ ˙ �
ϑ sin ϑ cos ϑ
�
+I3 ¨ϕ cos 2 ϑ − 2 ˙ϕ ˙ ϑ sin ϑ cos ϑ + ¨ ψ cos ϑ − ˙ ψ ˙ �
ϑ sin ϑ
d
dt
�
∂L
∂ ˙
�
+
ψ
∂P
∂ ˙ ψ
+ ∂P
=
=
∂ ˙ϕ
0
�
I3 ¨ϕ cos ϑ − ˙ϕ
(1.32)
˙ ϑ sin ϑ + ¨ �
ψ + ∂P
∂ ˙ ψ
= 0 (1.33)
Multipliziert man Gl. (1.33) mit cos ϑ und zieht diese dann von Gl. (1.32) ab,
so hebt sich der Term mit ¨ ψ weg und wir können bequem nach ¨ϕ auflösen, was
dann zu den Gleichungen (1.38) und (1.39) führt. (Man überzeugt sich durch
Betrachtung von (1.32) und (1.33) auch leicht davon, daß die Gleichungen (1.38)
und (1.39) auch für ϑ = π/2 richtig sind.) Wir erhalten somit für die ¨qj die
explizite Darstellung
¨xs = − 1 ∂P
,
m ∂ ˙xs
(1.34)
¨ys = − 1
¨zs =
∂P
,
m ∂ ˙ys
√
r
−g +
Dm
(1.35)
(r − a cos ϑ − zs) 3/2 ¨ϑ =
,
˙ϕ
(1.36)
2 �
sin ϑ cos ϑ 1 − I3
�
I1
− 1
�
I3 ˙ϕ
I1
˙ ψ sin ϑ + (r − a cos ϑ − zs) 3/2
√
r ∂P
a sin ϑ +
D ∂ ˙ ¨ϕ =
�
,
ϑ
�
1
(I3 − 2I1) ˙ϕ
I1 sin ϑ
(1.37)
˙ ϑ cos ϑ + I3 ˙ ψ ˙ ∂P
∂
ϑ +
˙ ∂P cos ϑ −
�
ψ ∂ ˙ϕ
,
sin ϑ
(1.38)
¨ψ = ˙ϕ ˙ ϑ sin ϑ − ¨ϕ cos ϑ − 1 ∂P
I3 ∂ ˙ .
ψ
(1.39)