Theoretische Physik IIIa Quantenmechanik - Institut für Theoretische ...

1.25 Eindimensionaler PotenzialtopfZu lösen ist die Schrödinger-Gleichung[− ¯h2 d 2 ]{2m dx 2 + V (x) φ(x) = Eφ(x) mit V (x) = −V0 für 0 ≤ x ≤ a0 sonstfür gebundene Zustände −V 0 ≤ E ≤ 0, d.h.φ ′′ (x) − 2m∫( ) ∞V (x) − E φ(x) = 0 mit¯h 2 φ ∗ (x)φ(x) dx = 1.−∞1) Im Bereich I: −∞ < x < 0 hat die Differenzialgleichung die Lösung φ Iφ ′′ − q 2 φ = 0 mit q 2 = − 2m E ≥ 0 und φ¯h 2 I (x) = A exp {qx}mit q > 0, weil für q < 0 die Funktion φ I nicht integrierbar ist.2) Im Bereich II: 0 ≤ x ≤ a hat die Differenzialgleichung die Lösung φ IIφ ′′ + k 2 φ = 0 mit k 2 = 2m (V¯h 2 0 + E) ≥ 0{B cos{kx} + C sin{kx} für k > 0φ II (x) =B + Cx für k = 0.3) Im Bereich III: a ≤ x ≤ ∞ hat die Differenzialgleichung die Lösung φ IIIφ ′′ − q 2 φ = 0 mit q 2 = − 2m E ≥ 0 und φ¯h 2 III = D exp {−qx}mit q > 0, wobei der Fall q < 0 ausscheidet.