Algebraische Modelltheorie

KAPITEL 2Grundlegende Vereinbarungen. DerKompaktheitssatz2.1. VoraussetzungenFür die Lektüre dieses Skripts setzen wir beim Leser eine gewisse Vertrautheitmit den Grundbegriffen und wesentlichen Resultaten der mathematischen Logikund universellen Algebra voraus, etwa im Umfang von [25], darüber hinaus — ingeringerem Maße — mit einigen Konzepten der ”klassischen“ Algebra (vgl. dazueventuell [31], [34], [39]). (Abschnitte, die weitergehendes Vorwissen erfordern, sindmit einem Stern gekennzeichnet; sie können ohne Schaden überlesen werden.)Insbesondere sollte der Leser auf der syntaktischen Seite parat haben, was manunter einer Sprache L der Prädikatenlogik erster Stufe und Termen, Formeln undSätzen über L versteht, und wie konjunktive, disjunktive und pränexe Normalformenvon L-Formeln aufgebaut sind. Auf semantischer Seite sollte der Begriff derL-Struktur, des Homomorphismus zwischen L-Strukturen und der Striktheit von Homomorphismengeläufig sein, und im Hinblick auf den Übergang zwischen Syntaxund Semantik die Definition der Modellbeziehung, des semantischen Folgerungsbegriffs(s.u.), der Erfüllbarkeit von Formeln und die Sätze über die Überführbarkeitvon Formeln in die genannten Normalformen.Gelegentlich wird im Zusammenhang mit den einleitend bereits erwähnten algorithmischenAspekten der Modelltheorie auch auf die einfachsten Begriffsbildungen,etwa rekursive Aufzählbarkeit oder Entscheidbarkeit, aus der Berechenbarkeitstheoriezurückgegriffen. Wir werden durchgehend die Church’sche These bemühen undEntscheidungs- bzw. Aufzählungsverfahren lediglich informell spezifizieren.An einigen Stellen werden Begriffe der Booleschen Algebra wie der eines (distributiven)Verbands, einer Booleschen Algebra usw. verwendet; der Leser kann sich,so sie ihm noch nicht vertraut sind, darüber in [40] informieren. Über KardinalundOrdinalzahlen wird (in naiver Art und Weise) ebenfalls verfügt; vgl. dazu eventuell[16], §7 oder [185].2.2. NotationEinige Bemerkungen vorweg zur Notation: Wir bezeichnen Terme mit t, t ′ , . . . ,Formeln durch ϕ, ψ, ϑ, . . . , Strukturen durch A, B, C usw. und ihre Universendurch A, B bzw. C, usw. Die Substrukturbeziehung zwischen L-Strukturen A und Bnotieren wir als A ⊆ B. Ist A eine L-Struktur und B eine Menge, so bezeichne L(B)die um Konstantensymbole b für alle Elemente b ∈ B erweiterte Sprache L. (Späterwerden wir des öfteren nicht mehr streng zwischen den formalen Symbolen b undden Elementen b ∈ B unterscheiden.) Ferner sei (A, B) die zugehörige Expansion5