Algebraische Modelltheorie

Proposition 3.3.1. ϕ ist persistent unter Erweiterungen in B.Beweis. Seien G ⊆ H Graphen in B, und a, b ∈ G mit G |= ϕ(a, b). Dannexistiert ein a und b verbindender Weg (a = v 0 , v 1 , . . . , v n = b) minimaler Längein G; es ist nach Voraussetzung n ≠ 2. Angenommen nun, in H existiere ein cmit aR H cR H b; dann ist c /∈ G, und (v 0 , . . . , v n , c, v 0 ) ist ein echter Kreis in H, imWiderspruch zur Kreisfreiheit von H ∈ B. Damit auch H |= ϕ(a, b).□Übung. Man zeige, daß ϕ(x, y) in B äquivalent zu einer unendlichen Disjunktionψ(x, y) ∈ L ∞ von existentiellen Formeln ist.Jedoch gilt:Proposition 3.3.2. Es gibt keine existentielle L-Formel ψ(x, y), die in B äquivalentist zu ϕ(x, y).Beweis. Angenommen, es gäbe ein derartiges ψ(x, y). Sei ψ von der Formψ = ∃z 1 · · · ∃z n(ϱ(x, y, z1 , . . . , z n ) ) ,wobei ϱ quantorenfrei, n ∈ N 0 . Wir betrachten den Graphen G = (G, R G ) mitG := {0, 1, . . . , n + 3} undR G := { (0, 1), (1, 2), . . . , (n + 2, n + 3) } ∪ { (1, 0), (2, 1), . . . , (n + 3, n + 2) } .Es ist G ∈ B, und G |= ϕ(a, b) für a := 0, b := n+3. Nach Annahme gilt G |= ψ(a, b),d.h. es gibt j 1 , . . . , j n ∈ {0, . . . , n + 3} derart, daßG |= ϱ(a, b, j 1 , . . . , j n ).Sei nun G 0 derjenige Teilgraph von G mit Universum {a, b, j 1 , . . . , j n }, und seiH ⊇ G 0 definiert durchH := G 0 ∪ {c}, c > n + 3 und R H := R G ∪ { (a, c), (c, b), (c, a), (b, c) } ,also aR H cR H b. In G 0 existiert kein Weg von a nach b, da |G 0 | ≤ n+2 < n+4 = |G|.H ist folglich kreisfrei. Erweitere nun H zu einem zusammenhängenden, kreisfreienGraphen mit gleicher Knotenmenge H = {a, b, c, j 1 , . . . , j n } (durch Auffüllen“ ”aller bis auf eine Lücke“ in G ” 0 durch Wege der Länge 1); sei H 1 der so entstandeneGraph. Nach Konstruktion ist einerseits H 1 ∈ B und H 1 |= ¬ϕ(a, b), aberandererseits auch H 1 |= ψ(a, b), wie man sich leicht überlegt.□Damit haben wir zwar zunächst nur gezeigt, daß es keine existentielle L-Formelin denselben freien Variablen gibt, die zu ϕ äquivalent ist. Ist aber ψ(x, y, z 1 , . . . , z n )irgendeine in B zu ϕ(x, y) äquivalente L-Formel, so ist auch ψ[x/z 1 , . . . , x/z n ] eineexistentielle L-Formel in den freien Variablen x, y, die in B zu ϕ äquivalent ist, imWiderspruch zu Prop. 3.3.2.Wir haben anhand dieses ausführlichen Beispiels gesehen, daß für beliebigeKlassen K von Strukturen die Persistenz einer Formel ϕ unter Erweiterungen in Kzwar notwendig, aber nicht hinreichend für die Eigenschaft von ϕ, in K gleichwertigmit einer existentiellen Formel zu sein, ist. Für elementare Klassen K von Strukturenist die Situation aber anders; dies ist der Inhalt des ersten wichtigen Satzesdieser Vorlesung, für dessen Herleitung wir jedoch noch ein für die Modelltheoriezentrales Hilfsmittel brauchen, die sog. Diagrammethode.17