Algebraische Modelltheorie

algebraisch abgeschlossene Körper der Charakteristik 0 aus der Gültigkeit diesesSatzes für C. (Für C ist dieser selbstredend — unter Verwendung der in C zurVerfügung stehenden analytischen Methoden — einfacher zu beweisen als für allgemeinealgebraisch abgeschlossene Körper mit Charakteristik 0, wo für dessenBeweis nur Mittel der Algebra verwendet werden können; für einen analytischenBeweis siehe [136], für einen algebraischen [143].)Die klassische“ Form des Satzes von Bézout lautet [29]: Seien C ” 1 , C 2 zweialgebraische Kurven vom Grad d 1 bzw. d 2 in der projektiven Ebene über einemalgebraischen abgeschlossenen Körper K; haben C 1 , C 2 keine gemeinsame Komponente,so ist die Summe ihrer Schnittmultiplizitäten genau d 1 · d 2 , insbesondereschneiden sie sich in höchstens d 1 · d 2 Punkten. Sind C 1 = V (f), C 2 = V (g) ebenealgebraische Kurven ohne gemeinsame Komponente vom Grad d 1 bzw. d 2 imaffinen Raum A 2 (K), so bettet man sie in P 2 (K) ein und erhält ihre AbschlüsseC 1 = (F ), C 2 = (G), wobei F , G die Homogenisierungen von f bzw. g seien. Es istgrad(F ) = grad(f) = d 1 und grad(G) = grad(g) = d 2 , und auf der unendlich fernenGeraden liegen nur höchstens endlich viele Punkte von C i , i = 1, 2, denn ist etwa[0 : x 1 : x 2 ] ∈ C 1 ein solcher, d.h. F (0, x 1 , x 2 ) = 0, so gilt für die d 1 -te homogeneKomponente f (d1) von f dann f (d1)(x 1 , x 2 ) = 0, also (falls o.B.d.A. x 1 ≠ 0) auchf (d1)(1, x2x 1) = 0, und dies kann nur für endlich viele λ := x2x 1∈ K der Fall sein.Analog folgt die Endlichkeit von C 2 \ C 2 ⊆ P 2 (K) \ A 2 (K), C 1 und C 2 haben keinegemeinsame Komponente, und die projektive Version des Satzes Bézout ergibtcard(C 1 ∩ C 2 ) ≤ card(C 1 ∩ C 2 ) = grad(F ) · grad(G) = grad(f) · grad(g).Diese (im Fall ebener Kurven — wie gezeigt — leicht aus dem Projektiven ableitbare)Tatsache wird oft als affine Bézout-Ungleichung bezeichnet. Der Satz vonBézout kann auf höhere Dimensionen verallgemeinert werden; uns interessiert hierdie affine Variante:Satz von Bézout. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper, char(K) =0. Seien f 1 , . . . , f n ∈ K[X 1 , . . . , X n ] mit grad(f i ) =: d i > 0; sei d := ∏ ni=1 d i.Haben f 1 , . . . , f n mehr als d viele gemeinsame Nullstellen in K n , so haben sie bereitsunendlich viele Nullstellen gemeinsam.(Anders formuliert: Ist K ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik0 und a ein nulldimensionales Ideal von K[X 1 , . . . , X n ] mit einer Basisf 1 , . . . , f n , so gilt stets card(V (a)) = dim K K[X 1 , . . . , X n ]/a ≤ ∏ ni=1 grad(f i).)Beweis (unter Annahme des Satzes für K = C). Wir schreiben das allgemeinePolynom in X = (X 1 , . . . , X n ) vom Grad d i alsf i = ∑ ja i,j X j ,wobei j = (j 1 , . . . , j n ) alle Indizes mit j k ≥ 0 und ∑ j k ≤ d i durchlaufe; sei a ={a i,j } i,j ein die endlich vielen a i,j enthaltender Vektor. Für gegebene d 1 , . . . , d n , d =43