Algebraische Modelltheorie

Zudem sind Konstanten als Ersatz für freie Variablen in Formelmengen oft einfacherzu handhaben. Wir zeigen hier zwei zwar einfache, jedoch sehr praktischeSätze zur Handhabung von Konstanten; zunächst ein bereits aus [25] bekannterSatz (Theorem 2.4.2), eine Art semantisches Pendant des dort behandelten ”Deduktionstheorems“:Satz 2.6.1. Sei Φ eine Formelmenge in L, ϕ ein L-Satz, ψ eine L-Formel.Dann gilt:Φ ∪ {ϕ} |= ψ ⇔ Φ |= (ϕ → ψ)Beweis. Gelte zunächst Φ |= (ϕ → ψ). Sei ψ(x 1 , . . . , x n ) eine erweiterte Formelzu ψ. Sei A eine L-Struktur, a 1 , . . . , a n aus A. Gilt dann A |= Φ ∪ {ϕ}, soA |= (ϕ → ψ)(a 1 , . . . , a n ), und damit A |= ψ(a 1 , . . . , a n ). Da a = (a 1 , . . . , a n )beliebig aus A n war, gilt A |= ψ.Sei nun umgekehrt Φ∪{ϕ} |= ψ vorausgesetzt. Sei A eine L-Struktur, und gelteA |= Φ. Sei a 1 , . . . , a n ∈ A mit A |= ϕ(a 1 , . . . , a n ); dann folgt, da ϕ Satz ist, A |= ϕ,also A |= ψ(a 1 , . . . , a n ). Dies zeigt A |= (ϕ → ψ).□Nun zu den angekündigten Sätzen über den Umgang mit Konstanten:Satz 2.6.2. Sei Φ eine Formelmenge in L, ϕ eine L-Formel, und c 1 , . . . , c nseien L-Konstanten, die weder in Φ noch in ϕ vorkommen. Giltso folgtΦ |= ϕ[c 1 /x 1 , . . . , c n /x n ],⎛⎛⎜⎜Φ |= ∀x 1 · · · ∀x n ⎝⎝∧1≤i,j≤nc i=c j⎞ ⎞⎟ ⎟x i = x j ⎠ → ϕ⎠ .Beweis. Sei A eine L-Struktur, und ϕ(x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y m ) Erweiterung vonϕ. Betrachte die Stelle (a 1 , . . . , a n , b 1 , . . . , b m ) in A. Gelte A |= Φ und a i = a j für1 ≤ i, j ≤ n mit c i = c j . Man ändere nun A zu einer Struktur B durch Modifikationvon c A i : Setze cB i := a i für i = 1, . . . , n. (Dies ist offenbar wohldefiniert.) Danngilt immer noch B |= Φ, und daher B |= ϕ ( )c B 1 , . . . , c B n , b 1 , . . . , b m , also B |=ϕ(a 1 , . . . , a n , b 1 , . . . , b m ), und somit A |= ϕ(a 1 , . . . , a n , b 1 , . . . , b m ).□Korollar 2.6.3. Sei Φ eine Formelmenge in L, ϕ eine L-Formel, und seienc 1 , . . . , c n paarweise verschiedene L-Konstanten, die weder in Φ noch in ϕ vorkommen.Gilt Φ |= ϕ[c 1 /x 1 , . . . , c n /x n ], so folgt Φ |= ∀x 1 · · · ∀x n (ϕ).□Korollar 2.6.4. Sei Φ eine Formelmenge in L, ϕ, ψ Formeln; c 1 , . . . , c n seienpaarweise verschiedene Konstanten in L, die weder in Φ noch in ϕ oder ψ vorkommen.Dann gilt: AusΦ |= ( ϕ[c 1 /x 1 , . . . , c n /x n ] → ψ )folgtΦ |= ( ∃x 1 · · · ∃x n (ϕ) → ψ ) .Beweis. O.B.d.A. nehmen wir an, daß x 1 , . . . , x n nicht in ψ vorkommen. NachVoraussetzung gilt dann Φ |= (ϕ → ψ)[c 1 /x 1 , . . . , c n /x n ]. Nach dem eben bewiesenenKor. 2.6.3 folgt nun: Φ |= ∀x 1 · · · ∀x n (ϕ → ψ). Da nun ∀x 1 · · · ∀x n (ϕ → ψ)logisch äquivalent ist zu ¬∃x 1 · · · ∃x n (ϕ)∨ψ, ergibt sich Φ |= ( ∃x 1 · · · ∃x n (ϕ) → ψ ) ,wie gewünscht.□9