Algebraische Modelltheorie

Wir zeigen nun, daß für Ψ := {ϕ ∈ ∃ 1 : Σ |= ϕ} gilt: K |= Mod(Ψ). Wegennachfolgendem allgemeineren Lemma reicht es, dafür nachzuweisen, daß B |= Σfür alle A ∈ K und B |= Th(A) ∩ ∃ 1 . Seien also A, B dergestalt gewählt. Mit (∗)erhalten wir ein Modell C ′ von Th(B) ∪ D(A, A) über L(A), für dessen L-ReduktC wir wegen Kor. 3.4.2 A ⊆ C annehmen können. Damit folgt C ∈ K wegen derAbgeschlossenheit von K gegen Erweiterungen, und wegen C |= Th(B) schließlichB ∈ K.□Lemma 3.7.5. Sei ∆ eine gegen ∨ abgeschlossene Menge von L-Sätzen, K eineelementare Klasse, etwa K = Mod(Σ) mit Satzmenge Σ; sei Σ ∆ := {ϕ ∈ ∆ : Σ |=ϕ}. Dann gilt K = Mod(Σ ∆ ) genau dann, wenn für alle A ∈ K und B |= Th(A)∩∆gilt B ∈ K.Beweis. Es sei zum Beweis der nichttrivialen Richtung B |= Σ ∆ ; zu zeigenist B ∈ K. Dazu müssen wir nach Voraussetzung lediglich ein A ∈ K mit B |=Th(A) ∩ ∆ finden. Setze wie üblich ¬∆ := {¬ϕ : ϕ ∈ ∆}. Es reicht offenbar,die Widerspruchsfreiheit von Σ ∪ (Th(B) ∩ ¬∆) zu verifizieren: Denn ist A |=Σ∪(Th(B)∩¬∆), so gilt B |= Th(A)∩∆; ist nämlich ϕ ∈ Th(A)∩∆ mit B |= ¬ϕ,so folgt A |= ¬ϕ wegen ¬ϕ ∈ Th(B) ∩ ¬∆, ein Widerspruch zu ϕ ∈ Th(A). Seienalso ϕ 1 , . . . , ϕ n ∈ ∆ und B |= ∧ ni=1 ¬ϕ i. Sei ϕ := ∨ ni=1 ϕ i. Dann ist B |= ¬ϕ, undϕ ∈ ∆ nach Voraussetzung. Wäre Σ ∪ {¬ϕ i : i = 1, . . . , n} nicht widerspruchsfrei,so hätten wir Σ |= ϕ, also ϕ ∈ Σ ∆ , und somit B |= ϕ, Widerspruch.□In den anschliessenden Übungen beschäftigen wir uns mit der Charakterisierungelementarer Erweiterungen mittels sog. Sandwiches.Definition 3.7.6. Sei K eine elementare Klasse von L-Strukturen, A, B ∈ K,A ⊆ B, n ∈ N 0 . Ein n-Sandwich in K zu A ⊆ B ist eine Kette von L-StrukturenA i ∈ KA = A 0 ⊆ B = A 1 ⊆ A 2 ⊆ A 3 ⊆ · · · ⊆ A n ⊆ A n+1derart, daß stets A i ≼ A i+2 für i = 0, . . . , n − 1. Eine alternierende Kette in K isteine Kette von L-Strukturen(3.7.1) A 0 ⊆ A 1 ⊆ A 2 ⊆ A 3 ⊆ · · ·derart, daß stets A i ≼ A i+2 für alle i ∈ N 0 . Wir nennen die Kette (3.7.1) einealternierende Kette in K zu A ⊆ B, falls sie alternierend und A 0 = A, A 1 = B ist.Übung. Sei K eine elementare Klasse von L-Strukturen, A, B ∈ K, A ⊆ B.Man zeige, daß für alle n ∈ N 0 giltA ⊆ B erhält alle ∀ n+1 -Formeln genau dann, wenn ein C ∈ Kexistiert mit A ⊆ B ≼∀ nC und A ≼ C,und beweise damit den folgenden Satz:Satz 3.7.7. Sei K eine elementare Klasse von L-Strukturen, A, B ∈ K, A ⊆ B.Dann:(i) Für alle n ∈ N 0 gilt: Es ist A ≼ ∀n B dann und nur dann, wenn in K einn-Sandwich zu A ⊆ B existiert.(ii) Genau dann gilt A ≼ B, wenn es in K eine alternierende Kette zu A ⊆ Bgibt.□25