Algebraische Modelltheorie

Übung. Ist eine Klasse K modellvollständig mit gemeinsamer Einbettungseigenschaft,so ist K vollständig.Übung. Man beweise folgenden Satz:Satz 4.5.5. Sei K eine elementare Klasse von L-Strukturen. Dann sind folgendeAussagen äquivalent:(i) K hat die gemeinsame Einbettungseigenschaft.(ii) Für alle A, B ∈ K mit A ∩ B = ∅ gibt es eine L(A ∪ B)-Expansion C ′einer Struktur C ∈ K mit C ′ |= D(A, A) ∪ D(B, B).(iii) Für alle existentiellen L-Sätze ϕ, ψ gilt: Falls ϕ ein Modell A ∈ K besitztund ψ ein Modell B ∈ K besitzt, so besitzt auch ϕ ∧ ψ ein Modell C ∈K. □Übung. Man entscheide folgende Fragen für eine elementare Klasse K vonL-Strukturen:(i) Ist K vollständig, so hat K die gemeinsame Einbettungseigenschaft.(ii) Ist K vollständig, so ist K auch modellvollständig.4.6. Algebraisch abgeschlossene Körper fester CharakteristikWir wollen uns nun den Klassen Kö p der Körper einer bestimmten Charakteristik p(wobei p = 0 oder p eine Primzahl sei) über der Sprache der Ringe L = {0, 1, +, −, ·}zuwenden. Mit Kö ist auch Kö p für jedes p elementar. Zunächst zeigen wir:Proposition 4.6.1. Jedes Kö p (p = 0 oder p Primzahl) hat eine PrimstrukturK, und zwar ist dies K = Q für p = 0 und K = F p für p > 0. Offensichtlich ist dasisomorphe Abbild von K in einem Körper L mit char(L) = p genau der Primkörpervon L, d.h. der kleinste in L enthaltene Körper.Beweis. Zu p = 0: Jeder Körper L ∈ Kö 0 mit char(L) = 0 enthält vermögepq ↦→ (p · 1)(q · 1)−1 eine isomorphe Kopie von Q. Sei p > 0 prim, L ∈ Kö p . In Lgilt p · 1 = 0 und für n < p: n · 1 ≠ 0; also ist ϕ: F p = Z/pZ → L, n ↦→ n · 1 eineEinbettung.□Man weiß aus der Körpertheorie: Jeder Körper besitzt einen algebraischen Abschluß,d.h. zu jedem Körper k existiert ein algebraisch abgeschlossener Erweiterungskörperk, so daß jedes Element aus k algebraisch ist über k. Zu jeder algebraischenErweiterung K/k existiert ferner ein k-Homomorphismus f : K → k, d.h.ein Körperhomomorphismus (der als solcher injektiv, also eine Einbettung, ist) mitf|k = id k . (Damit ist k bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt, denn sind k undk ′ zwei algebraische Abschlüsse von k und f : k ′ → k ein k-Homomorphismus, soist der Zwischenkörper f(k ′ ) von k/k algebraisch abgeschlossen, und da k/f(k ′ )algebraisch also notwendig k = f(k ′ ), d.h. f : k ′ → k ein k-Isomorphismus.)Beispiel. Der algebraische Abschluß Q von Q ist der Körper der algebraischenZahlen. Q kann als Teilkörper von C aufgefaßt werden und ist abzählbar. (Vgl. [34].)Proposition 4.6.2. Sei p = 0 oder p > 0 prim. Kö p ist nicht modellvollständig.Beweis. Sei p = 0. Die Erweiterung R ⊆ C etwa ist nicht elementar, wieder Satz ∃x(x 2 + 1 = 0) zeigt. Sei p Primzahl, und wähle eine weitere Primzahlq > p. Sei K der algebraische Abschluß K = F p von F p . Dann hat X q − 1 in K q41