Algebraische Modelltheorie

Beweis (Satz 4.4.8, nach [16], §10.3). Zum Beweis der nichttrivialen Richtungist wegen Lemma 3.7.5 zu zeigen, daß für alle B |= Th(A) ∩ Pos, wobeiA ∈ K, auch B ∈ K ist. Sei K = Mod(Σ) mit einer L-Satzmenge Σ. Wir verwendenein Kettenargument: Setze A 0 := A ∗∗0 := A, B 0 := B ∗∗∗0 := B. DaB |= Th(A) ∩ Pos, existiert nach obigem Lemma ein B ∗ 1 ≽ B ∗∗∗0 und ein Poserhaltendesf 0 : A ∗∗0 → B1. ∗ Expandiere A ∗∗0 , B ∗ 1 zu L(A 0 )-Strukturen A ∗∗∗0 :=(A ∗∗0 , A 0 ) und B ∗∗1 := (B ∗ 1, f 0 (A 0 )). Offensichtlich übertragen sich positive Sätzevon A ∗∗∗0 nach B ∗∗1 , und nach dem zweiten Teil des obigen Lemmas existiert A ∗ 1 ≽A ∗∗∗0 und g 1 : B1 ∗∗ → A ∗ 1 ¬Pos-erhaltend. Expandiere zu L(A 0 ∪ B 1 )-StrukturenA ∗∗1 := (A ∗ 1, g 1 (B 1 )), B ∗∗∗1 := (B ∗∗1 , B 1 ). Positive Sätze übertragen sich von A ∗∗1nach B ∗∗∗1 , wir finden also B ∗ 2 ≽ B ∗∗∗1 und f 1 : A ∗∗1 → B2 ∗ Pos-erhaltend, usw.(Man mache sich ein Bild!) Es gilt A ∗ n|L = A ∗∗n |L = A ∗∗∗n |L =: A n und B ∗ n|L =B ∗∗n |L = B ∗∗∗n |L =: B n für alle n ∈ N. Wir erhalten so zwei elementare KettenA = A 0 ≼ A 1 ≼ · · · und B = B 0 ≼ B 1 ≼ · · · mit Pos-erhaltenden Abbildungenf n : A n → B n+1 und ¬Pos-erhaltenden Abbildungen g n+1 : B n+1 → A n+1 für allen ∈ N 0 . Setze nun A ∞ := ⋃{ }A n : n ∈ N 0 , B∞ := ⋃{ }B n : n ∈ N 0 . Mit dem Satzüber elementare Ketten ist A ≼ A ∞ , B ≼ B ∞ . Man betrachte nun für n ∈ N dieL(A n−1 ∪ B n )-StrukturenA ∗∗n =(A ∗ n ,n−1⋃k=0A k ∪)n⋃g k (B k )k=1, B ∗∗∗n =Für alle a ∈ A k−1 , b ∈ B k , 1 ≤ k ≤ n gilt a A∗∗ nb A∗∗ n= g k (b), b B∗∗∗ n(A ∗ n ,n−1⋃k=0= a, a B∗∗∗ nf k (A k ) ∪)n⋃B k .k=1= f k−1 (a) und= b. Da f n : A ∗∗n → Bn+1 ∗ als Pos-erhaltende( )Abbildung einn → B ∗ n+1 ist (At ⊆ Pos!), gilt f n a A∗∗ n = a B∗ n+1 , undHomomorphismus A ∗∗( )wegen B ∗∗∗n ≼ B ∗ n+1 auch a B∗ n+1 = aB ∗∗∗n , also fn a A∗∗ n = a B∗∗∗ n für alle a ∈( )A n−1 . Ist a ∈ A k−1 mit 1 ≤ k ≤ n, so folgt f k−1 (a) = a B∗∗∗ n = f n a A∗∗ n =f n (a), also f k−1 = f n |A k−1 . Somit definiert f ∞ := ⋃ ∞n=0 f n einen HomomorphismusA ∞ (→ B) ∞ . Dieser ist sogar surjektiv, da für b ∈ B k , 1 ≤ k ≤ n gilt: f n (g k (b)) =f n b A∗∗ n= b B∗ n+1, wegen B ∗∗∗n ≼ B ∗ n+1 weiter b B∗ n+1= b B∗∗∗ n= b, also f n ◦ g k =id Bk . Da A |= Σ, folgt A ∞ |= Σ, also A ∞ ∈ K und nach Voraussetzung also auchB ∞ ∈ H(K) = K, somit B ∞ |= Σ, und schließlich B |= Σ, d.h. B ∈ K. □Übung. Sei L = {0, 1, +, −, ·}. Zeige: Die einelementigen L-Strukturen sinddie einzigen homomorphen Bilder von Körpern, die keine Körper sind.4.5. VollständigkeitZur Erinnerung: Wir nannten eine Menge Φ von L-Sätzen vollständig, falls für jedenSatz ψ über L gilt: Entweder Φ |= ψ oder Φ |= ¬ψ (vgl. Def. 2.5.1). Nun übertragenwir diesen Begriff auf Strukturklassen.Definition 4.5.1. Eine Klasse K von L-Strukturen heißt vollständig, falls füralle A, B ∈ K gilt: A, B sind elementar äquivalent, i.Z. A ≡ B, d.h. für alle L-Sätzeϕ giltA |= ϕ ⇔ B |= ϕ.(Vgl. Def. 2.4.15 in [25].)Bemerkungen. Offensichtlich gilt:39