Algebraische Modelltheorie

Gödelscher Vollständigkeitssatz. Es gibt ein System logischer Axiomeund Regeln, das zu einer gegebenen Formelmenge Φ genau alle semantischen Folgerungenaus Φ aufzählt.□Damit erhält man, da der dabei verwendete syntaktische Beweisbegriff finitärist, unmittelbar (vgl. etwa [25], Satz 2.4.7):Kompaktheitssatz. Sei Φ eine Menge von L-Formeln, ϕ eine L-Formel. Giltdann Φ |= ϕ, so existiert eine endliche Teilmenge Φ ′ ⊆ Φ mit Φ ′ |= ϕ. □Es sei an dieser Stelle erwähnt, daß der Kompaktheitssatz auch ohne Zuhilfenahmeeines logischen Kalküls auf rein semantischer Ebene sehr elegant mittelseiner Ultraproduktbildung bewiesen werden kann; wir werden einen solchen Beweisin §9 kennenlernen.Ferner erhalten wir aus dem Vollständigkeitssatz folgendes Korollar, das manauch als eine ”abstrahierte“ Version dieses Satzes bezeichnen könnte:Korollar 2.4.1. Sei L abzählbar und effektiv gegeben, Φ eine rekursiv aufzählbareMenge von Formeln. Dann ist auch die Menge {ϕ : Φ |= ϕ} aller semantischenFolgerungen aus Φ rekursiv aufzählbar.Beweis. Sei {φ n } n∈N eine rekursive Aufzählung von Φ. Da L abzählbar undeffektiv gegeben ist, ist die Menge der syntaktisch korrekten L-Formeln abzählbarund rekursiv aufzählbar; sei {ϕ n } n∈N eine rekursive Aufzählung dieser Menge. Wirgehen nach dem bekannten “dove-tailing”-Algorithmus vor: Sei Φ n (n ∈ N) dieMenge der ersten n Formeln von Φ, d.h. Φ n = {φ m : m ≤ n}. Damit generiereman für n = 1, 2, 3, . . . sukzessive mit dem gemäß Vollständigkeitssatz existierendenvollständigen und korrekten Kalkül eine endliche Aufzählung aller Beweise derLänge n mit Voraussetzungen aus Φ n , die höchstens die Formeln ϕ 1 , . . . , ϕ n enthalten,und notiere die jeweilige Endformel.□Gelegentlich sind Umformulierungen des Kompaktheitssatzes leichter anzuwenden;wir werden v.a. die Varianten aus den folgenden beiden Korollaren verwenden.Korollar 2.4.2. Sei Φ eine Menge von L-Formeln. Falls Φ kein Modell besitzt,so existiert ein endliches Φ ′ ⊆ Φ, so daß auch Φ ′ kein Modell besitzt.Beweis. Besitze Φ kein Modell. Wähle nun etwa ϕ := ¬(x = x). Dann gilttrivialerweise Φ |= ϕ; also existiert nach dem Kompaktheitssatz ein endliches Φ ′ ⊆Φ mit Φ ′ |= ϕ, d.h. Φ ′ hat kein Modell.□Oft ist es nützlich, den Formelbegriff etwas weiter zu fassen und auch beliebige(auch unendliche) Konjunktionen und Disjunktionen zuzulassen: Sei {ϕ i } i∈I eineFamilie von L-Formeln (I eine beliebige Indexmenge) mit zugehörigen Erweiterungenϕ i (x 1 , . . . , x n ). Dann nennen wir Formeln der Art∧ ∨ϕ i ,i∈IL ∞ -Formeln, und definieren deren Semantik wie folgt: Sei A eine L-Struktur,a 1 , . . . , a n ∈ A; dann gelte( ) ∧ϕ ii∈IA |=i∈Iϕ i(a 1 , . . . , a n ),7