Algebraische Modelltheorie

KAPITEL 3Persistenz und die DiagrammethodeIn diesem Abschnitt sei L eine beliebige Sprache der Logik erster Stufe.3.1. Persistenz und Abschlüsse von FormelmengenVor dem ersten wesentlichen Resultat über die Persistenz logischer Formeln unterErweiterungen zwischen L-Strukturen haben wir einige technische Vorbereitungenzu treffen.Definition 3.1.1. Seien A und C L-Strukturen, B eine nichtleere Teilmengevon A, und h: B → C eine Abbildung. Sei ferner ϕ eine L-Formel mit Erweiterungϕ(x 1 , . . . , x n ). Wir sagen, h erhält ϕ oder auch ϕ ist persistent unter h, falls füralle a 1 , . . . , a n ∈ B gilt: Wenn A |= ϕ(a 1 , . . . , a n ), so folgt C |= ϕ(h(a 1 ), . . . , h(a n )).Eine Menge Φ von L-Formeln ist persistent unter h, falls alle ϕ ∈ Φ unter herhalten bleiben.h heißt eine elementare Abbildung, falls A = B und h die Menge Fo L allerFormeln erhält.Bemerkungen.(i) Wie man sich sehr leicht überzeugt, ist diese Definition der Persistenzeiner Formel ϕ unabhängig von der Wahl der Erweiterung ϕ(x 1 , . . . , x n )von ϕ.(ii) Man kann die auf der Teilmenge B der Trägermenge A von A definierteFunktion h auch als eine bzgl. A partielle Abbildung ansehen; h ist danneine totale Abbildung, falls B = A gilt.Beispiele. Seien A, C L-Strukturen und h: A → C eine Abbildung. Dann gilt(vgl. [25], 1.3.2):(i) h ist ein Homomorphismus zwischen A und C genau dann, wenn h alleatomaren L-Formeln erhält.(ii) h ist ein strikter Homomorphismus von A nach C genau dann, wenn halle atomaren L-Formeln sowie alle negierten Prädikate erhält.(iii) h ist ein injektiver Homomorphismus von A nach C, genau wenn h alleatomaren Formeln und alle negierten Gleichungen erhält.(iv) h ist eine Einbettung von A in C genau dann, wenn h alle Basisformeln,d.h. alle atomaren und negiert atomaren L-Formeln erhält.Wir wollen nun im folgenden zeigen, daß eine Φ-erhaltende Abbildung h: B →C (wobei wieder Φ eine L-Formelmenge, A und C L-Strukturen und B eine Teilmengevon A seien) sogleich Boolesche Kombinationen — und bei weitergehendenAnnahmen über h sogar auch All- und Existenzabschlüsse — der Formeln aus Φerhält. Dazu definieren wir zunächst allgemein den Abschluß einer Formelmenge.13