Algebraische Modelltheorie

Notation mathematischer Sachverhalte ein, definiert einen Folgerungs- und Erfüllbarkeitsbegriff,einen Deduktionskalkül usw. In Bezug auf die Algebra ergibt sichdamit z.B. die Möglichkeit, algebraische Eigenschaften durch Sätze in einer formalisiertenSprache, etwa in der Logik erster Stufe, auszudrücken, z.B. die Lösbarkeitvon Polynomgleichungen und -ungleichungen. (Eigenschaften, die dergestalt in derLogik erster Stufe formulierbar sind, nennt man elementar.) Mit Hilfe von Ergebnissenund Methoden der Logik kann damit etwa das Zusammenspiel zwischen dersyntaktischen Gestalt der Sätze und ihrer Semantik untersucht werden. Diese Ideeist der Anfang der Modelltheorie, die — mit Vorläufern wie L. Löwenheim, Th. Skolem,A. Tarski, A. I. Malcev — erstmals in voller Allgemeinheit von A. Robinsonin die Tat umgesetzt und in den fünfziger und sechziger Jahren von Robinson,Tarski und einer vielzahl weiterer zu einer umfangreichen Theorie ausgebaut wurde.1 Bis heute ist sie weiter sowohl in die Breite als auch in die Tiefe gewachsenund hat sich zu einer eigenständigen Disziplin in der Mathematik entwickelt. (DerAusdruck ”Modelltheorie“ erscheint zum ersten Mal bei Tarski [167].) Mit derFormalisierung algebraischer Aussagen einhergehend wird der ”Ununterscheidbarkeitsbegriff“in der Algebra von dem der Isomorphie zu dem der elementaren Äquivalenzzweier Strukturen vergröbert: Zwei Strukturen sind elementar äquivalent,wenn sie dieselben Sätze (der Logik erster Stufe) erfüllen. Isomorphe Strukturensind dann elementar äquivalent, i.a. gilt aber nicht die Umkehrung; elementar äquivalente,nicht-isomorphe Strukturen werden also im Lichte der Logik erster Stufe(und bzgl. einer Sprache der ersten Stufe) als äquivalent angesehen, auch wenn sievom algebraischen Standpunkt durchaus andere Eigenschaften haben können. (Inder Sprache der Kategorientheorie lautet das: Man geht von der Kategorie allerStrukturen und strukturerhaltendenden Abbildungen einer algebraischen Theorie,etwa der Gruppen und Gruppenhomomorphismen, über zu einer Kategorie mitdenselben Objekten und den sog. elementaren Abbildungen als Morphismen.)Damit haben wir einen Aspekt der (algebraischen) Modelltheorie, nämlich dieCharakterisierung algebraischer Strukturen bis auf elementare Äquivalenz, beleuchtet.Als weitere sind die Konstruktion von Strukturen mit gewissen vorgeschriebenenelementaren Eigenschaften mittels Substruktur-, Erweiterungs-, Kettenkonstruktionenoder Ultraproduktbildung usw. zu nennen. Ferner ergeben sich algorithmischeFragestellungen, wie sie sich als Entscheidungsprobleme in natürlicher Weisestellen: Vorgelegt eine Klasse K von Strukturen und eine elementare Aussage ϕüber solche Strukturen; kann ϕ entschieden werden, d.h. gibt es einen Algorithmus,der bei Vorlage von ϕ entscheidet, ob ϕ in allen Strukturen aus K gilt oder nicht?(Derartige Probleme werden wir in der Vorlesung jedoch nur am Rande behandeln.)Zentral für Anwendungen der Modelltheorie und mit dem ersten erwähntenGesichtspunkt verwandt ist die Schaffung neuer Beweisprinzipien für die Algebra.Wir werden z.B. später (in §4) beweisen, daß jeder algebraisch abgeschlosseneKörper K der Charakteristik 0 elementar äquivalent zum komplexen Zahlkörper Cist ( ”Lefschetz-Prinzip“). Um eine elementare Eigenschaft ϕ für einen (oder alle)algebraisch abgeschlossenen Körper K mit char(K) = 0 zu beweisen oder zu widerlegen,genügt es damit, dies für K = C zu tun, wo dies — unter der Verfügbarkeitmächtiger Hilfsmittel wie das der komplexen Funktionentheorie — eventuell wesentlicheinfacher vonstatten gehen kann. Wegen ihrer Ungewohntheit konnten sich1 Biographisches zu Robinson und Tarski findet man in [17] bzw. [79]; [71], [173] sind Teileeiner Serie von Artikeln im Journal of Symbolic Logic, die das Werk Tarskis würdigen.2