Algebraische Modelltheorie

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

deduktiv abgeschlossen ist in dem Sinne, daß für alle L-Sätze ϕ mit Φ |= ϕ folgt,daß ϕ ∈ Φ.Th({A}) mit einer einzelnen L-Struktur A kürzt man als Th(A) ab, entsprechendMod({ϕ}) als Mod(ϕ) mit ϕ ∈ Sa L . Th(K) für K ≠ ∅ ist stets eine L-Theoriegemäß obiger Definition.Beispiel. Sei L = ∅ und K die Klasse aller endlichen Mengen. Dann ist Knicht elementar.Beweis. Wir nehmen zu L die abzählbar vielen Konstanten {c i } i∈N hinzuund erhalten eine neue Sprache L ′ . Ist K elementar, etwa K = Mod(Φ) mit einerFormelmenge Φ in L, so gilt (in L ′ ):Φ |= ∨ i
(a) K ⊆ Mod(Th(K)),(b) K ⊆ K ′ ⇒ Mod(Th(K)) ⊆ Mod(Th(K ′ )),(c) Mod(Th(Mod(Th(K)))) = Mod(Th(K));(ii) Für alle L-Satzmengen Φ, Φ ′ gilt:(a) Φ ⊆ Th(Mod(Φ)),(b) Φ ⊆ Φ ′ ⇒ Th(Mod(Φ)) ⊆ Th(Mod(Φ ′ )),(c) Th(Mod(Th(Mod(Φ)))) = Th(Mod(Φ)).Ferner gilt für Klassen K von L-Strukturen und widerspruchsfreie L-SatzmengenΦ:(i) K ist elementar genau dann, wenn K = Mod(Th(K)),(ii) Φ ist eine Theorie genau dann, wenn Φ = Th(Mod(Φ)).Mod( · ), Th( · ) vermitteln eine Bijektion zwischen der Gesamtheit der nichtleerenelementaren Klassen und den Theorien.□Übung. Man beweise Prop. 2.7.3.Theorien und elementare Klassen sind also zwei verschiedene, einander entsprechendeAspekte ein und desselben Konzepts. Vollständige Theorien sind besondersinteressant:Satz 2.7.4. Sei Φ eine L-Theorie. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent:(i) Φ ist vollständig.(ii) Φ ist eine maximale L-Theorie.(iii) Φ = Th(A) für alle A |= Φ.(iv) Φ = Th(A) für ein A |= Φ.Beweis. Zu (i) ⇒ (ii): Ist Ψ ⊃ Φ eine Theorie und etwa ψ ∈ Ψ \ Φ, so ist alsoψ /∈ Φ, somit ¬ψ ∈ Φ ⊆ Ψ, und damit ψ ∧ ¬ψ ∈ Ψ, Widerspruch.Zu (ii) ⇒ (iii): Ist A |= Φ, so Φ ⊆ Th(A), also Φ = Th(A) aufgrund derMaximalität von Φ.Zu (iii) ⇒ (iv): Trivial, da jede widerspruchsfreie Satzmenge Φ ein Modellbesitzt. (Hätte Φ kein Modell, so gälte nach Definition der Modellbeziehung stetsΦ |= ϕ für alle L-Formeln ϕ.)Zu (iv) ⇒ (i): Trivial.□Da jede widerspruchsfreie Menge von L-Formeln ein Modell hat, folgt:Korollar 2.7.5. (Satz von Lindenbaum, nach [159]) Jede widerspruchsfreieMenge Φ von L-Sätzen ist in einer vollständigen L-Theorie enthalten, der Vervollständigungvon Φ.□12
Seite 1: Algebraische ModelltheorieVolker We
Seite 5 und 6: 6.1. Angeordnete Körper und reelle
Seite 8 und 9: KAPITEL 1Was ist Modelltheorie?Mode
Seite 10: anfänglich nur wenige Mathematiker
Seite 13 und 14: von A zu einer L(B)-Struktur durch
Seite 15 und 16: falls für alle i ∈ I gilt: A |=
Seite 17: 2.7. Einige Definitionen. Theorien
Seite 21 und 22: Definition 3.1.2. Sei Φ eine Menge
Seite 23 und 24: Korollar 3.2.3. Sei B eine L-Strukt
Seite 25 und 26: 3.4. Das DiagrammlemmaWie bereits i
Seite 27 und 28: Sei σ eine Permutation von {0, . .
Seite 29 und 30: 3.7. Der erste PersistenzsatzDie §
Seite 31 und 32: Beweis. Die eine Richtung ist trivi
Seite 33 und 34: 3.8. Drei lokale Sätze aus der Gru
Seite 35 und 36: Beweis. Sei L n die Klasse aller li
Seite 39 und 40: ϕ 1 := (Q 2 x 2 · · · Q n x n (
Seite 41 und 42: Beweis. Nach dem Nullstellensatz is
Seite 43 und 44: Satz 4.3.1. Sei K eine modellvollst
Seite 45 und 46: mit ψ ∈ Qf, x = (x 1 , . . . , x
Seite 47 und 48: (i) Zwei L-Strukturen A, B sind ele
Seite 49 und 50: verschiedene Nullstellen (denn ist
Seite 51 und 52: d 1 · · · d n und m > d seien di
Seite 53 und 54: Umgekehrt sei jetzt ψ(x 1 , . . .
Seite 55 und 56: 5.2. Substrukturvollständigkeit un
Seite 57 und 58: Als Beispiel betrachte man die Spra
Seite 59 und 60: (i) Falls L effektiv gegeben und K
Seite 61 und 62: (b) ϕ gilt in allen algebraisch ab
Seite 63 und 64: eine gemeinsame Nullstelle besitzen
Seite 65 und 66: abgeschlossen ist in W × V . Das P
Seite 67 und 68: Bemerkung. Jeder Bewertungsring ist
Seite 69 und 70:
Bemerkung 5.6.2. Sei K abgeschlosse
Seite 71 und 72:
2. Für alle n ∈ N und algebraisc
Seite 73 und 74:
(v) In einem nichtarchimedisch ange
Seite 75 und 76:
Korollar 6.1.10. (Artin, [43]) Sei
Seite 77 und 78:
Beweis. O.B.d.A. sei K algebraisch
Seite 79 und 80:
(c ± a > 0 wegen 0 ≠ b 2 = (c +
Seite 81 und 82:
Satz 6.2.5. (Satz von Rolle für Po
Seite 83 und 84:
(a 0 , . . . , a d ) nach Streichun
Seite 85 und 86:
Korollar 6.3.8. Der Satz von Sturm
Seite 87 und 88:
6.4. Der Satz von Tarski-Seidenberg
Seite 89 und 90:
Sei E = (E, L E , Z E , K E , W E ,
Seite 91 und 92:
schreiben können, wobei die P i
Seite 93 und 94:
auch R |= ∃Y(ψ) und damit Q |=
Seite 95 und 96:
( ∑d−e)a d ≠ 0, a e ≠ 0. Da
Seite 97 und 98:
Sei M ⊆ R n . Eine Funktion f : M
Seite 99 und 100:
Übung. Man zeige, daß die Menge i
Seite 101 und 102:
(ii) t ↦→ ( w(t), ξ j (w(t)) +
Seite 103 und 104:
(i) M ist zusammenhängend.(ii) M i
Seite 105 und 106:
stetig und semialgebraisch. Mit Pro
Seite 107 und 108:
(i) f(a) = 0 für alle a ∈ V K (a
Seite 109 und 110:
also1 + ∑ ∑a i g i′ 2 = fj h
Seite 111 und 112:
ψ : S → R ′ dergestalt, daßA/
Seite 113 und 114:
in C[X] = R(i)[X] mit α j , β k ,
Seite 115 und 116:
Beweis. Es ist K ⊇ Q; ist also f
Seite 117 und 118:
(ii) oder ob es ein B ∈ K gibt mi
Seite 119 und 120:
Beweis (von Lemma 7.1.4). Ist K ′
Seite 121 und 122:
warum A ∈ G n (K) ist. Hierzu rei
Seite 123 und 124:
⊩ und |= für alle Sätze, die ke
Seite 125 und 126:
(iv) C ⊢ ϕ gdw. C ⊢ ψ[a/x], w
Seite 127 und 128:
Bedingung C ⊆ Φ. Da aber C ∪
Seite 129 und 130:
C 2k+1 , die ϕ k entscheidet. Setz
Seite 131 und 132:
Definition 7.4.4. (Robinson, [126])
Seite 133 und 134:
Andererseits wissen wir aufgrund de
Seite 135 und 136:
und durch Koeffizientenvergleich ge
Seite 137 und 138:
mit C ⊢ ¬ϕ[r/x]. Wir beweisen,
Seite 139 und 140:
Sei K ein Körper, X ein topologisc
Seite 141 und 142:
(iii) B(R) ist isomorph zur Boolesc
Seite 143 und 144:
(∗) Für jedes f ∈ C p existier
Seite 145 und 146:
Korollar 7.6.13. SKR ∗ ist die Mo
Seite 147 und 148:
Beispiel. Sei {G i } i∈I eine Fam
Seite 149 und 150:
l(a) den so gewählten Repräsentan
Seite 151 und 152:
Beweis. Sei u /∈ G und 〈u〉 di
Seite 153 und 154:
ichtig ist; dieser gilt dann aber a
Seite 155 und 156:
Die vom Standpunkt der Rekursionsth
Seite 157 und 158:
N −−−−→ M 1⏐⏐↓↓j
Seite 159 und 160:
Wir erhalten damit schon eine notwe
Seite 161 und 162:
Voraussetzung N = M ⊕ M ′ mit e
Seite 163 und 164:
eine essentielle Erweiterung von E
Seite 165 und 166:
Beweis. Die ϕ(0) haben die Form ϕ
Seite 167 und 168:
Lemma 7.8.30. Sei G eine abelsche G
Seite 169 und 170:
Eine Kombination von Kor. 7.8.32 un
Seite 171 und 172:
freien Variablen wie ϕ enthält, a
Seite 173 und 174:
Übung. Sei R ein kommutativer Ring
Seite 175 und 176:
Sei a das von den λ (λ ∈ I) erz
Seite 177 und 178:
(i) Jeder ℵ 0 -injektive Modul is
Seite 179 und 180:
e 1 r 1 R + · · · + e 1 r n R
Seite 181 und 182:
für alle j ∈ J i0 , k ∈ K i0 ,
Seite 183 und 184:
= 0 oder a = 0, ein Widerspruch. Mi
Seite 185 und 186:
Da a maximal ist, ist R/a i∼ = R/
Seite 187 und 188:
(Dabei sei k|t für k ∈ N 0 und e
Seite 189 und 190:
Definition 7.10.6. Sei A eine abels
Seite 191 und 192:
Prop. 7.10.11 ist B ein direkter Su
Seite 193 und 194:
∆ außer 0 die e 1 , . . . , e n
Seite 195 und 196:
teilbare Torsionsanteil von A ist a
Seite 198 und 199:
KAPITEL 8Modelltheoretische Resulta
Seite 200 und 201:
quantorenfreie Formel, so gilt für
Seite 202 und 203:
Wieder definieren wir ψ := ∨ {
Seite 204 und 205:
Beweis. Da K induktiv und elementar
Seite 206 und 207:
können wir wegen der Form von ϕ o
Seite 208 und 209:
Nach Kor. 2.4.3 gibt es dann eine e
Seite 210 und 211:
in K, insbesondere in A(K). Die For
Seite 212 und 213:
(ii) stellt dabei also einen einer
Seite 214 und 215:
Beweis. Sei S die im Satz angegeben
Seite 216 und 217:
Lemma 8.6.7. Sei R ein regulärer R
Seite 218 und 219:
KAPITEL 9UltraprodukteIn diesem abs
Seite 220 und 221:
Definition 9.1.5. Sei X ≠ ∅ ein
Seite 222 und 223:
Ähnlich wie mit den Argumenten im
Seite 224 und 225:
Korollar 9.2.7. Sei U ein Ultrafilt
Seite 226 und 227:
Erfüllen K, ∁K die beiden Abgesc
Seite 228 und 229:
(iii) U heißt κ-regulär, wenn es
Seite 230 und 231:
für jedes n ∈ N ist damit a nm f
Seite 232 und 233:
als A besitzt und also nicht zu A i
Seite 234 und 235:
Ein berühmtes Beispiel ist:Satz 9.
Seite 236 und 237:
Definition 9.5.2. Sei B eine Booles
Seite 238 und 239:
Insbesondere besagt dieser Satz, da
Seite 240 und 241:
Korollar 9.5.7. Die offen-abgeschlo
Seite 242 und 243:
Die abgeschlossene Hülle X einer M
Seite 244 und 245:
Beweis. Setze Σ 1 := {ϕ}, Σ 2 :=
Seite 246 und 247:
Definition 9.6.1. Ist A eine L-Stru
Seite 248:
ist. Da ◦ ( ∗ K) als Vergröße
Seite 251 und 252:
Lehrbücher zur Algebra und algebra
Seite 253 und 254:
[94] , On the existence of linear o
Seite 255:
[157] Szpilrajn, E., Sur l’extens
Alle anzeigen

Algebraische Modelltheorie

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Template löschen?

Als Template speichern?