Wiederholungs-Klausur am Freitag 30. Januar 2004 - Mohr.lehrer ...

Lösungen zur Wiederholerklausur Elementargeometrie vom 1. Februar 2002:Lösung zu Aufgabe 1:a) „... wenn die drei Geraden in einem (Parallel- oder einem Punkt-) Büschel liegen.“b) (i) Gegeben sei ein Punkt- oder Parallelbüschel a, b, c. Dann kann man das Produkt ab so durch a‘b‘ ersetzen, dass b‘ = c ist, denn im ersten Fall gehen alle drei durcheinen Punkt und im zweiten Fall sind alle drei parallel. Also ist a b c = a‘.(ii) Sei a b c = d. Daraus folgt a b = d c.Fall1: a b ist eine Drehung. Dann ist d c dieselbe Drehung, d.h. c muss durch denSchnittpunkt von a und b verlaufen. Die Geraden a, b und c bilden ein Punktbüschel.Fall2: a b ist eine Translation. Dann ist d c dieselbe Translation, d.h. c muss zu aund b parallel sein. Die Geraden a, b und c bilden also ein Parallelbüschel.c) a b c = a‘ b‘ c mit b‘⊥c und ∠(a, b) = ∠(a‘, b‘)= a‘ b‘‘ c‘‘ mit b‘‘⊥a‘ und ∠(b‘, c) = ∠(b‘‘, c‘‘) = 90°.Damit haben wir insgesamt a‘⊥b‘‘⊥c‘‘ also a‘⏐⏐c‘‘. Daher ist a’b‘‘c‘‘ = a’c‘‘b‘‘ = b‘‘a’c‘‘eine Gleitspiegelung mit der Gleitachse b‘‘ und dem Schubvektor v = 2*dist(a‘,c‘‘).12Lösung zu Aufgabe 2:b) Wir analysieren die Aufgabe zunächst für ein beliebiges n-Eck:P Q RA B C ... AA ist Fixpunkt der Abbildung α = P Q R ... , die das Produkt von nPunktspiegelungen an den n Seitenmitten ist.Fall 1: n ist ungerade. Dann ist α eine Punktspiegelung. Diese hat genau einenFixpunkt. Daher ist in diesem Fall die Aufgabe stets eindeutig lösbar.Fall 2: n ist gerade. Dann ist α eine Translation.Ist α eine echte Translation, so gibt es keinen Fixpunkt und die Aufgabe ist unlösbar.Ist α jedoch die Identität, so kann jeder Punkt der Ebene als Eckpunkt A dienen.a) Im Falle n=5 ergibt sich die Lösung eindeutig durch A = P Q R S T. Das Produktvon drei Punktspiegelungen ist die Punktspiegelung am viertenParallelogrammpunkt: (P Q R) S T = U S T = V = A.Lösung zu Aufgabe 3:b) Das Bilddreieck YXZ ist gegensinnig kongruent zu ABC. Dabei sind dieMittelsenkrechten entsprechender Punkte nicht identisch, also muss es sich bei derAbbildung um eine Gleitspiegelung handeln, da eine Achsenspiegelung nicht in Fragekommt und es andere gegensinnige Kongruenzen nicht gibt. Man erhält dieGleitachse g durch Halbierung der Strecken AY, BX und CZ. Damit kann man dasZwischenbild nach der Spiegelung und auch den Schiebevektor v bestimmen.